wann konvergiert Reihe

13.04.2009, 20:00

Eisbar

wann konvergiert Reihe

Ich soll p und q so bestimmen das folgende Reihe konvergiert:

$\begin{eqnarray*} \sum^{unendlich}_{n-2} \frac{1}{n(ln(n))^p(ln(ln(n)))^q} \end{eqnarray*}$ .

Ich hab schon rumprobiert. Aber nur Blödsinn rausbekommen. Kann mir jemand einen Tipp geben?

Danke

13.04.2009, 20:39

Dual Space

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RE: wann koverbiert Reihe

Zitat:

Original von Eisbar
Ich hab schon rumprobiert.

Was genau hast du versucht, zu welchen Ergebnissen bist du gekommen?

13.04.2009, 20:45

Eisbar

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Das Majorantenkriterium, dabei habe ich aber keine Reihe gefunden womit ich was anfangen könnte.
Dann das Quotientenkriterium, aber dort verrechne ich mich ständig glaub ich, denn es kommt ncihts gescheites raus obwohl ich denke, dass dies der richtige Ansatz ist.
Zudem muss ja beim Quotientenkriterium n=o sein und hier fängts bei n-2 an.

13.04.2009, 20:47

Raumpfleger

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RE: wann koverbiert Reihe
Für $\begin{eqnarray*} p \leq 1, q \leq 1 \end{eqnarray*}$ divergiert die Reihe. p und q sollen reell sein, oder?

13.04.2009, 20:48

Eisbar

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Oh entschuldigung hab ich vergessen p und q sin aus Z. Aber wieso müssen beide gleich 1 sein?

13.04.2009, 20:48

tmo

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Ich würde zunächst mal das Verdichtungskriterium anwenden. Das sieht vielversprechend aus.

13.04.2009, 20:49

Eisbar

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Oh entschuldigung hab ich vergessen p und q sin aus Z.

Aber wieso müssen beide gleich 1 sein?

13.04.2009, 20:52

Raumpfleger

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RE: wann koverbiert Reihe
Für $\begin{eqnarray*} p = 2, q = 1 \end{eqnarray*}$ und für $\begin{eqnarray*} p = 1, q = 2 \end{eqnarray*}$ scheint sie bereits zu konvergieren.

13.04.2009, 20:54

Eisbar

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Aber ich soll alle p und q finden. Da bringt mir ausprobieren nichts.

13.04.2009, 20:54

Raumpfleger

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Zitat:

Original von Eisbar
Aber wieso müssen beide gleich 1 sein?

Das hat niemand gesagt. Die Reihe divergiert, wenn p und q beide kleiner gleich 1 sind.

13.04.2009, 20:56

Eisbar

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Wie kommst du auf dieses Ergebnis?

13.04.2009, 20:58

Raumpfleger

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Zitat:

Original von Eisbar
Aber ich soll alle p und q finden. Da bringt mir ausprobieren nichts.

Stimmt, aber wenn Du zeigen könntest, dass sie für für p = 1, q = 2 und für p = 2, q = 1 konvergiert, dann konvergiert sie auch für alle p + q > 3, p >= 1, q >= 1.

13.04.2009, 21:21

Eisbar

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tschuldigung aber ich bekomm das nciht hin. Ich glaube das is eine Einbahnstraße

14.04.2009, 00:34

Leopold

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$\begin{eqnarray*} g(x) = x \cdot \left( \ln x \right)^p \cdot \left( \ln \ln x \right)^q \end{eqnarray*}$

Überlege, daß die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{g(n)} \end{eqnarray*}$ genau dann konvergiert, wenn dies das Integral $\begin{eqnarray*} \int \limits_3^{\infty} \frac{\dd x}{g(x)} = \int \limits_{\ln \ln 3}^{\infty} \operatorname{e}^{(1-p) \, t} t^{-q}~\dd t \end{eqnarray*}$ tut. Unterscheide die Fälle

$\begin{eqnarray*} \text{(I)} \ p>1 \, ; \ \ \text{(II)} \ p=1, \, q>1 \, ; \ \ \text{(III)} \ p=1, \, q \leq 1 \, ; \ \ \text{(IV)} \ p<1 \end{eqnarray*}$

Hinweis: Zu allen $\begin{eqnarray*} p,q \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ gibt es ein ganzzahliges $\begin{eqnarray*} n_0>3 \end{eqnarray*}$ , so daß die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=n_0}^{\infty} \frac{1}{g(n)} \end{eqnarray*}$ eine Untersumme des Integrals $\begin{eqnarray*} \int \limits_{n_0 - 1}^{\infty} \frac{\dd x}{g(x)} \end{eqnarray*}$ und eine Obersumme des Integrals $\begin{eqnarray*} \int \limits_{n_0}^{\infty} \frac{\dd x}{g(x)} \end{eqnarray*}$ ist.

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