JNF: ein Beweisschritt nachvollziehen

14.04.2009, 22:23	MrPSI	Auf diesen Beitrag antworten »
JNF: ein Beweisschritt nachvollziehen Hallo. Ich verstehe ein Schritt in einem Beweis nicht. Hoffe, es kann jemand helfen. Vorraussetzungen: Gegeben ist ein Untervektorraum U von V und eine nilpotente Abbildung $\begin{eqnarray} N \in L(V,V) \end{eqnarray}$ und k sei eine positive ganze Zahl, sodass $\begin{eqnarray} N^k = 0 \end{eqnarray}$ . Weiters sei folgende Definition gegeben: $\begin{eqnarray} N^j U = \{N^j u : u \in U\} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} U=span(u) \end{eqnarray}$ Im Beweis taucht dann folgende Gleichheit auf, die nicht weiter erklärt wird: $\begin{eqnarray} U+NU+N^2 U+ \ldots + N^{k-1} U = span(u, Nu, N^2 u, \ldots , N^{k-1} u) \end{eqnarray}$ Woher weiß man denn, dass diese Summe von Untervektorräumen wirklich durch diesen span aufgespannt wird (ob das Tupel von Vektoren lin. abh. oder unabhängig, ist nicht so wichtig).
15.04.2009, 20:17	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: JNF: ein Beweisschritt nachvollziehen Hi MrPSI, Es ist doch $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ ein eindimensionaler Vektorraum und genauso sind es dann eben auch $\begin{eqnarray} NU={\rm span}(Nu) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} N^2U={\rm span}(N^2u) \end{eqnarray}$ usw. Was jetzt noch zu zeigen bleibt, ist dass für beliebige Vektoren immer $\begin{eqnarray} {\rm span}(v_1)+...+{\rm span}(v_n)={\rm span}(v_1,...,v_n) \end{eqnarray}$ ist. Das ist aber nur ein wenig Anwendung der Definitionen von $\begin{eqnarray} {\rm span} \end{eqnarray}$ und der Summe von Vektorräumen. Gruß, Reksilat.
16.04.2009, 19:29	MrPSI	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Reksilat. Ja, als ich mir das alles nochmal durchdacht habe, habe ich festgestellt, dass aufgrund von $\begin{eqnarray} N(\alpha u) = \alpha N(u) \end{eqnarray}$ sich jeder Vektor aus NU wieder als ein skalares Vielfaches eines (Basis)Vektors darstellen lässt und daher NU wieder ein eindimensionaler Unterraum ist (alle darauffolgenden Räume N²U, etc. ebenso) Und der Rest ist dann eh klar. Danke.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »