Taylorreihenentwicklung

13.09.2006, 12:19	sonyejin	Auf diesen Beitrag antworten »
Taylorreihenentwicklung Tach zusammen... ich habe ein Problem mit einer Potenzreihenentwicklung : Die Aufgabe lautet : 1.Entwickeln sie $\begin{eqnarray} f(x) = \frac{1}{\sqrt{1+x}} \end{eqnarray}$ an der Stelle x= 0 in eine Potenzreihe. Wie lautet der n-te Summand 2. Wie groß ist der Fehler maximal, wenn Sie zur Berechnung von f(x) an der Stelle x=1/10 nur die ersten drei Summande der Potenzreihe aufaddieren? ------------------------------------------------------------------------- Zu 1 : Ich habe jetzt einfach mal versucht die ersten vierAbleitungen zu bilden und bin dann auf folgende Taylorreihe gekommen ( unvollständig) $\begin{eqnarray} f(x) = 1 - \frac{1}{2}(x-0)^1+ \frac{3}{4}(x-0)^2- \frac{15}{6}(x-0)^3+ \frac{35}{4}(x-0)^4.... \end{eqnarray}$ Ich weiss jetzt aber nicht wie es weitergeht und wie ich hier den n-ten Summanden bilde.... könnt ihr mir da Tipps bei der Vorgehensweise geben? Zu 2: Hier weiss ich nicht mal vom Ansatz her, was gemacht werden soll.. Danke im Voraus
13.09.2006, 12:27	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Wozu das Rad neu erfinden? Die Binomialreihe lautet $\begin{eqnarray} (1+z)^\alpha = \sum_{k=0}^\infty {\alpha \choose k} z^k \end{eqnarray}$ . Wähle $\begin{eqnarray} \alpha := -\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ . Fertig. Muss jetzt weg, den Rest kann wer anders übernehmen. Gruß, therisen
13.09.2006, 13:09	sonyejin	Auf diesen Beitrag antworten »
@therisen: thx für die Antwort.. aber mit einer Binominalreihe kann ich gar nix anfangen ( höre ich zum ersten Mal ^^) kann mir noch jemand anders helfen?
13.09.2006, 13:25	Egal	Auf diesen Beitrag antworten »
Für die Fehlerabschätzung gilt die Taylor-Formel die eine Abschätzung für das Restglied liefert. Der n-te Summand der Taylorreihe mit Entwicklungspunkt a ist allgemein: $\begin{eqnarray} \frac{f^{(n-1)}(a)}{n!}(x-a)^{n-1} \end{eqnarray}$ Das musst du jetzt auf deine konkrete Funktion anwenden also zunächst mal die entsprechende Ableitung bestimmen.
13.09.2006, 13:27	swerbe	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo sonyejin, therisen hat bereits das Ergebnis hingeschrieben, musst es einfach nur noch für deinen konkreten Fall anwenden. Falls dir der Binomialkoeffizient, bzw. die Binomialreihe gar nichts sagen (was ich ehrlich nicht glauben kann, da ihr ja bereits mit Taylorreihen arbeitet und die Binomialreihe allein schon vom fundamentalen Binomischen Lehrsatz her bekannt sein sollte...), dann informiere dich doch einfach mal bei Wikipedia über diese Dinge (ist wirklich nicht schwer zu lernen ) Für deine Aufgabe gilt doch: $\begin{eqnarray} f(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x}}=(1+x)^{-1/2} \end{eqnarray}$ Dann einsetzen und fertig... gruß swerbe
13.09.2006, 13:44	sonyejin	Auf diesen Beitrag antworten »
danke euch zunächst für die Antworten.. ich schau mir die Binominalreihe einmal genauer an.. wenn ich ehrlich bin : ich war nicht in der Vorlesung, als Taylorreihen etc. behandelt wurden.. ^^;
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13.09.2006, 13:50	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Lies dir mal das durch: http://de.wikipedia.org/wiki/Binomische_Reihe So, zweiter Teil. $\begin{eqnarray} \left(1+\frac{1}{10}\right)^{-\frac{1}{2}} = \sum_{k=0}^\infty {-\frac{1}{2} \choose k} \left(\frac{1}{10}\right)^k = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \cdot \frac{\prod_{i=1}^k (2i-1) }{20^kk!} \end{eqnarray}$ .Definiere $\begin{eqnarray} a_k := \frac{\prod_{i=1}^k (2i-1) }{20^kk!} \end{eqnarray}$ . Wegen $\begin{eqnarray} 1<\frac{a_{k}}{a_{k+1}} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lim_{k \to \infty} a_k = 0 \end{eqnarray}$ kannst du nun das Leibnizkriterium und die zugehörige Fehlerabschätzung verwenden. Gruß, therisen

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