Nachweis Diffbarkeit

15.04.2009, 11:31

Mulder (Gast)

Nachweis Diffbarkeit

Hallo,

bin aus der Ana I ziemlich raus, aber ich muss mich jetzt dennoch mit dieser Kleinigkeit hier rumschlagen. Also, gegeben ist

$\begin{eqnarray*} L(x) = \int\limits_{1}^{x}~\frac{\dd t}{t} \, \, \, \, \, , \, \, \, x > 0 \end{eqnarray*}$

Ich soll nun zeigen, dass $\begin{eqnarray*} L: \mathbb R_{\text{+}} \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} L'(x) = \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ diff'bar ist, und zwar ohne Verwendung des Logarithmus.

Da werde ich dann ja wohl irgendwie mit dem Differentialquotienten ranmüssen, nehme ich an. Allerdings führt mich das auch irgendwie nicht weiter. Dann habe ich ja irgendwie sowas hier stehen:

$\begin{eqnarray*} f'(x) = \lim_{x_0 \to x} \frac{\int\limits_{1}^{x_0}~ \frac{\dd t}{t} - \int\limits_{1}^{x}~\frac{\dd t}{t}}{x_0 -x} \end{eqnarray*}$

Das hilft mir aber doch irgendwie nicht, oder? Gibt's da irgendwas voll cooles, was ich übersehe oder schlicht nicht mehr parat habe? L'Hospital hatte ich auch mal im Kopf, hier aber ganz schnell wieder verworfen. Im Zähler könnte ich ja die beiden Integrale zusammenfassen, aber auch das hat mich dem Ziel eigentlich nicht näher gebracht. Ich muss nun irgendwie auf 1/x kommen, ja? Hat da jemand einen Tipp für mich?

15.04.2009, 11:40

klarsoweit

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RE: Nachweis Diffbarkeit

Zitat:

Original von Mulder (Gast)
Ich soll nun zeigen, dass $\begin{eqnarray*} L: \mathbb R_{\text{+}} \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} L'(x) = \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ diff'bar ist, und zwar ohne Verwendung des Logarithmus.

Das sagt doch eigentlich schon der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.

15.04.2009, 11:45

Mulder (Gast)

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RE: Nachweis Diffbarkeit
Du meinst, ich kann den einfach so verwenden? Okay, dann ist das einigermaßen klar, danke. Ich ging davon aus, dass man das auch direkt nachrechnen kann (muss). Ist ja dann irgendwie eine sinnige Aufgabe so...

Hab ich ehrlich gesagt auch gar nicht dran gedacht...

15.04.2009, 12:07

Mulder (Gast)

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Okay, es tun sich neue Probleme auf:

Die folgenden beiden Identitäten soll ich nun in dieser Teilaufgabe zeigen:

$\begin{eqnarray*} i) L(xy) = L(x) + L(y) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ii) L(e^x) = x \end{eqnarray*}$

Wie soll man das denn machen, wenn man den $\begin{eqnarray*} ln \end{eqnarray*}$ nicht verwenden darf? Ich darf ja einfach nicht integrieren! unglücklich

15.04.2009, 12:43

klarsoweit

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Die entstehenden Integrale kannst du aber mit Substitution umformen. Augenzwinkern

15.04.2009, 13:25

Mulder (Gast)

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Für gewöhnlich gibt es da ja keine Kochrezepte, aber kann man irgendwie erahnen, wie man da substituieren soll? Tut mir leid, ich seh's an dieser Stelle wirklich nicht...

15.04.2009, 13:30

klarsoweit

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RE: Nachweis Diffbarkeit
Wenn man nichts sieht, könnte eine Brille helfen. Augenzwinkern

Bei $\begin{eqnarray*} L(xy) = \int\limits_{1}^{xy}~\frac{\dd t}{t} = \int\limits_{1}^{x}~\frac{\dd t}{t} + \int\limits_{x}^{xy}~\frac{\dd t}{t} \end{eqnarray*}$ liegt doch beim 2. Integral die Substitution t = x * u auf der Hand. Augenzwinkern

15.04.2009, 13:56

Mulder (Gast)

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RE: Nachweis Diffbarkeit
Ups

So einfach kann's sein, vielen Dank! Ich schau mal, ob ich ii) selber hinbekomme.

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