neue extremwertaufgabe!!!! grübel

13.09.2006, 13:09

razorfane

neue extremwertaufgabe!!!! *grübel*

ich hab ne neue extremwert-aufgabe:

GEGEBEN:

ein rechteck mit den eckpunkten A,B,C,D
AB und CD, je 8cm
BC und DA, je 12cm

macht euch am besten eine zeichnung....^^

M ist der mittelpunkt von CD

punkt P irgendwo auf BC

im rechteck befindet sich ein parallelogramm mit dem oben genannten eckpunkt P, zwei seiten des parallelogramms sind parallel zu MA

FRAGE:

wo muss P sein und wie muss das parallelogramm aussehen, damit sein flächeninhalt maximal ist????

13.09.2006, 13:10

Lazarus

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Haste schonmal nen eigenen Versuch gestartet ?
Was verstehst du ned, wo haperts, was is los ?

13.09.2006, 13:22

razorfane

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also...
der flächeninhalt vom parallelogramm:

A = a * ha

wenn man es aufzeichnet enstehen 2 dreiecke:

1. eckpunkte AMD
2. in AMD ein kleineres mit selben winkeln
a (kürzere seite) b (längere...) c Hypotenuse

also

$\begin{eqnarray*} \frac{a}{b} = \frac{MD}{DA} \end{eqnarray*}$

MD = 4cm
DA= 12cm

also 1/3 =a/b

also b = 3a

und was weiter??
wie komm ich auf den maximalen flächeninhalt??

13.09.2006, 14:01

klarsoweit

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Zitat:

Original von razorfane
wenn man es aufzeichnet enstehen 2 dreiecke:

1. eckpunkte AMD
2. in AMD ein kleineres mit selben winkeln
a (kürzere seite) b (längere...) c Hypotenuse

Verstehe nicht so ganz, wo du in AMD noch ein kleineres Dreieck siehst, und was dann a bzw. b sind.

Wie dem auch sei. Sei S der Punkt des Parallelogramms, der auf der Strecke AB liegt. Dann ist das Dreieck SBP ein zu AMD ähnliches Dreieck und es gilt:
$\begin{eqnarray*} \frac{SB}{BP} = \frac{MD}{DA} = \frac{4}{12} \end{eqnarray*}$

Als nächstes mußt du eine Formel für die Strecke MP aufstellen.

13.09.2006, 14:53

razorfane

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formel für MP??

also: MP = $\begin{eqnarray*} \sqrt{CP² + 4²} \end{eqnarray*}$

also: CP² = 4² - MP²

und CP = 12 - BP

also (12 - BP)² = 16 - MP² ---> MP² = 16 - (12 - BP)²

und jetzt???

13.09.2006, 14:58

klarsoweit

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Zitat:

Original von razorfane
also: CP² = 4² - MP²

Da hast du irgendwie was vertauscht.

Als nächstes brauchst du eine Formel für die Höhe im Parallelogramm von P aus auf die gegenüberliegende Seite. Da kann man auch wieder wa mit ähnlichen Dreiecken machen.

13.09.2006, 15:12

razorfane

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hmm..., hier komm ich nicht weiter..., also auf die höhe komm ich nit, sry...
kann mir da nicht jemand helfen??

ach ja, sry..., berichtigt:

CP² = MP² - 4²

(12 - BP)² = MP² - 16

MP² = (12 - BP)² + 16

13.09.2006, 15:16

klarsoweit

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Wenn H der Höhenfußpunkt der Höhe von P aus ist, dann ist das Dreieck PMH ähnlich zu PSB.

EDIT: Halt mal. Möglicherweise irre ich mich da jetzt. Ich schau mir das nochmal auf einer Skizze an.

EDIT2: Sorry, das obige war Quatsch. Also das ganze nochmal.
Die Höhe h im Parallelogramm nimmst du von S aus auf die Strecke AM. Der Höhenfußpunkt auf der Strecke AM ist dann H. Das Dreieck ASH ist dann ähnlich zu AMD.

MP zu berechnen war zwar ganz nett, wird aber vermutlich nicht gebraucht. traurig