Basis/Dimension

15.04.2009, 22:16

Gilprost

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Basis/Dimension

Hallo, ich stehe dummerweise völlig auf dem Schlauch.
Auch nachdem ich mir mehrere Thread dieses Forums durchgelesen habe...
Also mein Problem ist: Wie berechnet man die Dimension eines Vektorunterraums.
In den meisten thread, so hab ich verstanden, ging es darum, dass eine Basis geschaffen werden sollte, und das eine Mstrix dazu vorggeben war.
Aber ich bin viel mehr daran intressiert Die Basen und Dimension von Unterräumen mit bestimmen Definitionen zu finden.
Hierzu fällt mir grad nur ein Bsp ein, dass ähnlich dem ist, dasl ich als Aufgabe machen soll/möchte, daher bitte nicht lösen, sondern maximal Denkanstöße geben, oder eige Bsp. schaffen.

sei V = $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^{5} \end{eqnarray*}$
und sei ein Unterraum: U = $\begin{eqnarray*} \{ \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \\ v_4 \\ v_5 \end{pmatrix} \mid v_1-2v_2+3v_3=0 \end{eqnarray*}$ ^ $\begin{eqnarray*} v_2-2v_3+4v_4+2v_5=0\} \end{eqnarray*}$

Vorher noch eine Frage: Was ist Span? Ist das die Hülle?

Spontan würde ich sagen, die Dimension ist 1, da die Elemnte untereinander abhängig sind. Das heißt ich würde die Gleichungen gleichsetzen und nach 0 auflösen. Die Koeffizienten wären dann die Basis.

15.04.2009, 23:02

tigerbine

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RE: Basis/Dimension
Span ist die lineare Hülle.

Egal wie der Unterraum nun angegeben ist, man versucht eine Basis oder eben die maximale Anzahl an linear unabhängigen Vektoren zu finden.

Zitat:

und sei ein Unterraum: U = $\begin{eqnarray*} \{ \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \\ v_4 \\ v_5 \end{pmatrix} \mid v_1-2v_2+3v_3=0 ~ \land ~v_2-2v_3+4v_4+2v_5=0\} \end{eqnarray*}$

Übersetzen wir das mal in ein LGS

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1&-2 & 3 &0 &0 \\ 0& 1& -2 & 4 &2 \end{pmatrix} v = 0 \end{eqnarray*}$

Was ist nun die Dimension des Kern dieser Linearen Abbildung? Denn alle die Vektoren im Kern genügen den von dir geforderten Bedingungen.

Rang der Matrix und Dimensionssatz helfen weiter.

15.04.2009, 23:25

Gilprost

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Da fängt es schon an mit den Problemen^^
Wo ist denn da eine Abbildung?
Es handelt sich doch nur um einen Raum und nicht um eine Abbildung auf einen anderen Raum, oder?!
Also ich meine bisher waren doch lineare Abbildungen immer der Form ƒV->W oä

15.04.2009, 23:40

tigerbine

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Du hast eine MENGE von Vektoren definiert. Eigentlich hätten wir erstmal prüfen müssen, ob das überhaupt ein UVR ist. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Da war ich schlampig.

Dann spricht doch nichts dagegen, diese Vektoren so als Lösung des homogenen LGS aufzuschreiben, wie ich es getan habe. Habe ja nur die Gleichungen untereinander geschrieben und dann die Matrixform draus gemacht.

Was ist daran unklar? Die Lösung (Kern) ist doch ein UVR.

16.04.2009, 00:09

Gilprost

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RE: Basis/Dimension
(Ich hatte diese Aufgabe etwas abgeändert... bei der originalen war es auf jeden Fall ein Unterraum (war auch eine Teilaufgabe). Und ich glaub hier müsst das auch der Fall sein.)

uff... also ich hoffe ich das jetzt einigermaßen Richtig verstanden:

Also ist
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1&-2 & 3 &0 &0 \\ 0& 1& -2 & 4 &2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \\ v_4 \\ v_5 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Aber im Kern müssten noch weitere Elemente sein. z.b. $\begin{eqnarray*} a \begin{pmatrix} 8 \\ 4 \\ 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Also insgesamt halt 4
Das hogogene LGS.
\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} ist der Kern.
dim(V) ist logischerweise 5.
Ich weiß nicht geanu, wie der Dimensionssatz lautet, aber soweit ich das weiß müsste dim(U)=1?!

16.04.2009, 00:28

tigerbine

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RE: Basis/Dimension
Nein.

Der Kern ist die Menge aller Vektoren, die man für v einsetzten kann, so dass Av=0 erfüllt ist. Also genau die Menge, die wir suchen (wir haben A ja so gewählt).

Dimensionssatz/Formel googelst du dir mal selber.

Die Matrix hat schon Treppengestalt, also hat sie den Rang 2. Was bedeutet das nun für die Dimension des Kerns? Augenzwinkern

Augenzwinkern

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16.04.2009, 01:46

Gilprost

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Ich glaub ich dreh durch^^...

Also: dim(kern) = 3, da dim(V) = 5 (die standartbasis) und der rg=2 ist.
Dann ist 5 = dim(Kern) + 2
Und somit folgt halt, dass dim(Kern) = 3 ist.

Eine Basis vom Kern müsste dann: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 8 \\ 4 \\ 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \end {pmatrix} \end{eqnarray*}$ sein (ist bei dem homologen Gleichungssystem rausgekommen^^).

Laut Dimensionssatz muss dim(U) =< dim(V), da U ein Unterraum ist. Zudem ist dim(Kern) =< dim(U), da auch dies ein Unterraum ist.
Somit muss dim(U) entweder 3,4, oder 5 sein.

dim(U+Kern) = dim(U) + dim(Kern) - dim(U (durchschnitt) Kern)
Da der Kern jedoch ein Unterraum von U ist müsste eig: dim(Kern) = dim(U (durchschnitt) Kern) = 3 sein?!

dim(U) = 4 (bzw. ± 1^^)

Jetzt weiß ich eig nicht weiter^^, aber ich versuch's trotzdem:

Ich würde jetzt Kern, als Matrix schreiben $\begin{eqnarray*} <br /> \begin{pmatrix} -1 & 8 & 4 \\ -2 & 4 & 2 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray*}$

Der Rang ist 3. Somit gilt, dass auch dim(U) = 3 ist, da 0 (def(Kern)) + 3 (Rg(Kern)) = 3

Somit ist die oben genannte Basis des Kerns auch eine Basis von U.

Bitte sag, dass nicht alles falsch ist...!

16.04.2009, 09:49

tigerbine

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Der Anfang ist richtig. Also 5 = 2 + 3. Daher 3 Vektoren finden. Habe das nun nicht nachgerechnet. die sind aber l.u. und wenn sie die Bedingung an deine V erfüllen (Probe) bist du fertig.

16.04.2009, 11:01

Gilprost

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so vielen Dank bis heirhin.
Aber welche Bedingung stellen die Vektoren, denn an V?
Sie stellen doch eig nur eine Bedingung an U.

Zusätlich ist jetzt meine Frage: Was wäre, wenn rausgekommen wäre, dass dim(U)=4 wäre? Wie hätte ich dann die letzte Dimension gefunden?
Oder wenn ich jetzt diese Basis zu der von V erweitern wolle.

16.04.2009, 11:17

Gilprost

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sry... meinte natürlich den letzten Vektor, nicht die letzte Dimension^^

16.04.2009, 12:38

tigerbine

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Ja U. Sorry.

Deine andere Frage verstehe ich nicht. Das LGS hätte dann ja auch anders ausgesehen...

16.04.2009, 13:00

Gilprost

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Jup. Also eine ganz andere Aufgbae (hab leider kein Bsp. dazu gefunden), wo dim(Kern) < dim(U) ist.
Ich habe ja eine Basis von dem Kern, aber dann fehlen ja noch Vektoren zu einer Basis von U.

Meine andere Frage ist ähnlich.
Dazu dient sogar dieses Bsp^^.
es ist ja dim(V)=5.
und ich möchte jetzt die gefundene Basis von U zu einer von V erweitern. Also fehlen ja noch 2 Vektoren. Meine Frage nun: wie finde ich diese beiden Vektoren...?

16.04.2009, 13:05

Gilprost

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ui ich hatte gread ganz spontan eine Idee^^.
Der Austauschsatz von Steinitz.

Dann müsste doch eine Basis von V sein: (-1,-2,-1,0,0), (8,4,0,-1,0), (0,0,1,0,0), (0, 0, 0, 1, 0), (4,2,0,0,-1)

16.04.2009, 19:06

tigerbine

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Also U und der Kern sind doch hier das gleiche. Wir (ich) habe das ja so konstruiert.

Will man nun eine Basis zu einer "größeren" Basis ergänzen, braucht man eben l.u. Vektoren. Man würde sich die gegebenen Vektoren /Basis schöner machen, um dann durch möglichst einfache Vektoren aufzufüllen.

16.04.2009, 19:33

Gilprost

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Was meinst du mit "schöner machen"?
Und die Vektoren von meinem letzten Post sind doch l.u., wenn ich mich nicht verrechnet habe^^?!

Da ich glaube, dass das soweit richtig ist, und ich hoffe, dass ich nicht nerve würde ich gerne weitermachen. Also hier hatten wir ja schon mehr oder weniger ein Gleichungssystem durch die Definition der Vektoren.

Wie sieht das denn aus mit anderen Eigenschaften?, Also z.b. die Menge U, der quadratische Matrizen 6 × 6 mit $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} _j = a_j \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$

Untrraum von V = alle m × m Matrizen über K ja, da
1. 0 = 0 (in der Nullmatrix)
2. $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} _j + b_i \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} _j=a_j \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} _i + b_j \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} _i \end{eqnarray*}$ , da die einzelnen Summanden denselben Wert haben (weil beide aus U)
3. $\begin{eqnarray*} ra_i \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} _j =ra_j \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} _i \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} _j =a_j \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} _i \end{eqnarray*}$

Wie geht man diese Aufgabe an? Spontan würde ich sagen, die Dimension ist 6 (Diagonalelemente) + 15 (da ja 30 verbleiben und jeweils 2 voneinander vollständig abhängig ist), also 21.

Das bringt mir natürlich relativ wenig^^. Wie geht man die Aufgabe jetzt an? nimmt man sich jetzt eine 6 × 6 Matrix mit 21 variablen^^? Oder kann man einfach sozusagen eine Baisi vorschlagen und einfach die Kriterien durchgehen, also ob diese linear Unabhängig sind und ob sie erzeugendensystem ist?!
Aber dann stellt sich doch die Frage: Woher kommt die Lösung (Ich hab eben in einem anderen Thread gelesen: Die Lösung kann ja nicht vom Himmel fallen^^)

Ach und noch eine Frage: kannst du mir gute Materialen/Links oä zum Üben empfehlen???

16.04.2009, 19:40

tigerbine

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Du musst deutlicher sagen, wo du bist und was du machst. V= Vektorraum der quadr. 6x6 Matrizen, U = Alle symmetrischen 6x6 Matrizen.

1. Die Einheitsmatrix ist symmetrisch

2. Addiert man 2, so ist das auc symmetrisch, da Komponetenweise addiert wird.

3. auch Multiplikation mit skalar läßt die Symmetrie erhalten.

Basis dieses UVRs. Welche Dimension hat denn V? Wie würde da eine einfache Basis aussehen?

Bei U nun, muss man außerhalb der Diagonale eben beachten, dass sich immer 2 Felder ändern müssen, wegen der Symmetrie.

16.04.2009, 23:51

Gilprost

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ok, also von V ist eine Basis die Standart basis.

Von U denke ich, dass die Basis aus den Elementen besteht: E $\begin{eqnarray*} _i \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} _j \end{eqnarray*}$ + E $\begin{eqnarray*} _j \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} _i \end{eqnarray*}$ für alle i \neq j. Und dazu noch E $\begin{eqnarray*} _i \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} _i \end{eqnarray*}$
Das heißt 6 Matrizen mit je 1 eins, und noch 15 weitere mit jeweils 2 einsen.

Aber wie kommt man auf sowas mathematisch^^?

Sry, wenn meine Ausdrucksweise noch etwas durcheinander ist. Das ist für mich noch mehr oder weniger Neuland.

17.04.2009, 12:23

tigerbine

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Standard

Big Laugh

Zitat:

Aber wie kommt man auf sowas mathematisch^^?

Durch ein bisschen Übung. Nicht alles steht in einem Handbuch. Augenzwinkern

Augenzwinkern

17.04.2009, 13:17

Gilprost

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klugscheißer Big Laugh

Big Laugh

:-Þ

kannst du mir denn Links geben, wo es reichlich Übungsmaterial gibt? Am Besten Seiten, wo die Lösungen dabeistehen, wäre dann einfach er für die Kontrolle.

17.04.2009, 13:26

tigerbine

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da das schon "unibereich" ist, kenne ich keine solchen seiten. Und dann auch noch mit Lösungen tss.. Big Laugh

Big Laugh

Ne ehrlich, ist kein böser Wille. du kannst nach Übungszetteln mit Lösungen von Unis googeln. Was anderes wüßte ich nicht.

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