Quadratische Variation der Brownschen Bewegung

16.04.2009, 17:14	Semimartingal	Auf diesen Beitrag antworten »
Quadratische Variation der Brownschen Bewegung Hallo, ich habe eine Frage. Wie kann man anschaulich begründen, dass die quadratische Variation der Brownschen Bewegung nicht Null ist, weil die totale Variation der Brownschen Bewegung unendlich ist? Allgemein für stetige Semimartingale X gilt ja, ist die Variation endlich , so ist die quatratische Variation [X,X]=0 ..Wieso ist das der Fall? wieso nicht auch bei unendlicher Variation? Viele Grüße Eddy
16.04.2009, 23:03	Dual Space	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Quadratische Variation der Brownschen Bewegung Was genau verstehst du unter "quadratischer Variation" eines stochastischen Prozesses?
17.04.2009, 10:52	Semimartingal	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Quadratische Variation der Brownschen Bewegung $\begin{eqnarray} \pi_{n}(B)=\sum_{j=1}^{k_{n}}(B_{t_{j}^{n}}-B_{t_{j-1}^{n}})^2\longrightarrow t \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n\rightarrow \infty \end{eqnarray}$ Die Variation, d.h statt $\begin{eqnarray} (B_{t_{j}^{n}}-B_{t_{j-1}^{n}})^2 \end{eqnarray}$ wird $\begin{eqnarray} \left\|B_{t_{j}^{n}}-B_{t_{j-1}^{n}}\right\| \end{eqnarray}$ eingefügt, geht gegen unendlich. B ist Brownsche Bewegung! Sie hat also unendliche Variation und endliche quadratische Variation. Hat man nun einen Prozess mit endlicher Variation, dann ist die Quadratische Variation Null. Und dies möchte ich anschaulich begreifen..
20.04.2009, 13:17	Gustav	Auf diesen Beitrag antworten »
Für einen stochastischen Prozess $\begin{eqnarray} X_t \end{eqnarray}$ kannst du abschätzen $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^{k_n} \left( X_{t_i^n}-X_{t_{i-1}^n} \right)^2 \leq \max \\| {X_{t_i^n}-X_{t_{i-1}^n}} \\| \sum_{i=1}^{k_n} \\| X_{t_i^n}-X_{t_{i-1}^n} \\| \rightarrow 0 \end{eqnarray}$ wenn die Variation von $\begin{eqnarray} X_t \end{eqnarray}$ endlich ist da $\begin{eqnarray} \max \\| {X_{t_i^n}-X_{t_{i-1}^n}} \\| \rightarrow 0 \end{eqnarray}$ . Bei unendlicher Variation geht das offenbar nicht mehr, da der zweite Faktor des Produkts gegen $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ geht. Genauso kannst du begründen: falls die quadratische Variation von 0 verschieden und endlich ist, dann ist die Variation unendlich (sonst wäre die quadratische Variation ja gleich 0). Allgemein gilt: ist die p-Variation von $\begin{eqnarray} X_t \end{eqnarray}$ endlich so ist die q-Variation von $\begin{eqnarray} X_t \end{eqnarray}$ gleich 0 für alle $\begin{eqnarray} q> p \end{eqnarray}$ .

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