Basistransformation einer Funktion

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Basis Auf diesen Beitrag antworten »
Basistransformation einer Funktion
Hallo Wink ,
ich bräuchte mal ein bisschen Hilfe bitte:

Gegeben ist eine Funktion:



.

Weiterhin hat man einen Satz weiterer Koordinaten:



Jetzt soll man g in diesen neuen Koordinaten angeben und sagen welche Eigenschaften die Tij erfüllen müssen.

Und hieran scheitere ich irgendwie schon, wir hatten zwar neulich das dyadische Produkt kurz eingeführt, heißt das dann, Tij ist das Resultat dieses Produkts, eine Matrix ?
Also wäre T ja dann abhängig von den ai und den xi, die dann entsprechend in den Zeilen und Spalten vorkommen?

Oder lieg ich hier total falsch?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »
Basiswechsel
Hallo,
im folgenden sei stets .

Welche nützliche Eigenschaft muß denn die Matrix haben, damit man nicht nur aus , sondern umgekehrt auch die aus berechnen kann ?
Basis Auf diesen Beitrag antworten »

Müsste die Matrix eine Diagonalmatrix sein?

z.b. so?

Elvis Auf diesen Beitrag antworten »
Basiswechsel
Hallo, Basis Augenzwinkern Dein Beispiel wäre ein mögliches, ist aber nicht allgemein genug.
In meinen ersten Hinweis habe ich das Wort "umgekehrt" ganz dick unterstrichen, weil jede Matrix , die einen Basiswechsel beschreibt, die Dimension des Vektorraums erhalten muß. Also ist , daraus folgt , d.h. ist eine reguläre (= nichtsinguläre) Matrix, also existiert die "inverse" Matrix . Die Elemente von lassen sich allgemein durch Elemente von ausdrücken.
Basis Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, ok, das ist einleuchtend, danke Freude

d.h. die xi wären dann?



und das müsste ich dann oben einsetzen um g in den neuen Koordinaten zu bekommen?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »
Basiswechsel
Du machst mir Spaß - habe herzlich gelacht. Augenzwinkern

Nein, sooo einfach ist das nicht. Die Elemente von lassen sich aus Determinante und Adjunkten von berechnen.

Hier ist ein link , siehe "Adjunktenverfahren": http://www.uni-stuttgart.de/bio/adamek/c...ren/Inverse.pdf
 
 
Basis Auf diesen Beitrag antworten »

Das mit Adjunkten höre ich zum ersten Mal geschockt
Nach der Formel von deinem Link hieße das ja?



hoffe ich belustige dich nicht wieder Big Laugh
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »
Basiswechsel
Nimm's nicht persönlich, Mathematik soll ja Spaß machen, und genau das tut's. Augenzwinkern

Du bist jetzt schon ganz nah dran an einer Lösung, nur muß die inverse Matrix noch so dargestellt werden, daß du ihre Elemente benutzen kannst, z.B. so :
Das ist eine quadratische Matrix, und ihre Elemente sind gewisse Unterdeterminanten von dividiert durch
Basis Auf diesen Beitrag antworten »

, das kann doch sowieso nicht null sein, weil dann wäre ja T gar nicht invertierbar, wenn ihre Determinante verschwinden würde oder?

Habe noch das gefunden:



aber das ist ja nur für 3x3 Matrizen
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »
Basiswechsel
Jawohl, ist gleichbedeutend damit, daß die Matrix invertierbar ist. Genau deswegen dürfen wir bei der Berechnung von durch dividieren.

Berechnung von inversen Matrizen durch Adjunkte macht man normalerweise nur für kleine Matrizen, also für 2x2 oder 3x3-Matrizen. Bei größeren Matrizen wird der Rechenaufwand zu groß, dann benutzt man besser die Methode von Gauß (oder andere Methoden). Ich habe dich auf die Adjunkte hingewiesen, damit du die Möglichkeit hast, in deinen weiteren Rechnungen die Elemente von direkt hinzuschreiben.

Eine andere Möglichkeit wäre folgende Argumentation gewesen: ist die Matrix eines Basiswechsels, also ist T invertierbar. Sei . Und damit könntest du deine weiteren Rechnungen mit den machen.
Basis Auf diesen Beitrag antworten »

Super, vielen Dank für deine Mühe & deine Hilfestellungen Freude
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