Vektorrechnung

17.04.2009, 22:37

derStein

Vektorrechnung

Hallo Leute!

Will folgende Aufgabe lösen:

Wie groß ist der Flächeninhalts des Parallelogramms aus a+5b und 5a+b , wenn |a| = |b| =3 und <(a,b)=30° ist?

Bekannt ist zwar, daß F=|a|*|b|*sin<(a,b) ist, jedoch weiß ich jetzt nicht, wie sich der Flächeninhalt bei einer Vektorenaddition berechnen läßt?
Kann mir jemand bitte einen Tipp oder einen Lösungsweg zeigen?
Das Ergebnis ist laut Lösungsbuch F=108 !!!
danke!

17.04.2009, 23:39

Gualtiero

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RE: Vektorrechnung
Hallo @derStein,
mein Lösungsvorschlag sieht so aus: als erstes die Vektoren koordinativ festlegen; wo sie liegen, ist egal, da sie ja nur zueinander richtig liegen müssen.

Z.B. $\begin{eqnarray*} \vec{a} = \begin{pmatrix}3 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Der zweite Vektor soll auf einer 30° steilen Gerade liegen, die durch den Ursprung geht. Dann ist x = cos(30°) * 3 und y = sin(30°) * 3, also

$\begin{eqnarray*} \vec{b} = \begin{pmatrix}2.60 \\ 1.5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Damit kannst Du die beiden Seiten des Parallelogramms bilden, und die Fläche ist dann der Betrag des Vektors, der sich aus dem Vektorprodukt (=Kreuzprodukt) der beiden Seiten ergibt.

18.04.2009, 11:13

derStein

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Hi Gualtiero,

danke für den Tipp, komm auch glatt aif das Ergebnis, danke nochmal!

Schaui

18.04.2009, 12:43

riwe

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RE: Vektorrechnung

Zitat:

Original von Gualtiero
Hallo @derStein,
mein Lösungsvorschlag sieht so aus: als erstes die Vektoren koordinativ festlegen; wo sie liegen, ist egal, da sie ja nur zueinander richtig liegen müssen.

Z.B. $\begin{eqnarray*} \vec{a} = \begin{pmatrix}3 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Der zweite Vektor soll auf einer 30° steilen Gerade liegen, die durch den Ursprung geht. Dann ist x = cos(30°) * 3 und y = sin(30°) * 3, also

$\begin{eqnarray*} \vec{b} = \begin{pmatrix}2.60 \\ 1.5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Damit kannst Du die beiden Seiten des Parallelogramms bilden, und die Fläche ist dann der Betrag des Vektors, der sich aus dem Vektorprodukt (=Kreuzprodukt) der beiden Seiten ergibt.

rundungsfehler unglücklich

$\begin{eqnarray*} |\vec{b}|\approx 3.001\neq 3 \end{eqnarray*}$

das sollte man mit den regeln der vektormultiplikation machen smile

$\begin{eqnarray*} |(\vec{a}+5\vec{b})\times(5\vec{a}+\vec{b})|=|25\cdot\vec{b}\times\vec{a}+\vec{a}\times\vec{b}|=24|\vec{a}\times\vec{b}|=24|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|sin30°=108 \end{eqnarray*}$

18.04.2009, 12:58

Gualtiero

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RE: Vektorrechnung
@riwe, schon lange nicht mehr gesehen. smile

Hast natürlich Recht, da ist der Praktiker in mir (zwei Stellen genügen) stärker gewesen als die mathematische Einsicht.
Danke

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