Komplexe Zahlen

18.04.2009, 11:47

markustm

Komplexe Zahlen

Hey, dies ist mein erster Eintrag in diesem Forum, daher bitte ich euch, falls ich etwas falsch mache, es mir direkt zu sagen.
Habe hier eine Aufgabe, die ich nicht lösen kann.
Aufgabe 1:
Berechnen Sie die Überlagerung folgender, harmonischer Schwingungen mit Hilfe der komplexen e-Fkt, indem Sie die Schwingungen zunächst in die komplexe Darstellung überführen und anschließend die komplexen Amplituden addieren. Geben Sie die überlagerte Schwingung in der Form $\begin{eqnarray*} y(t) = A \cdot sin(wt + ß ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y(1) = 2 \cdot sin(2t + \frac{2PI}{3}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y(2) = -3 \cdot cos(2t + \frac{-5PI}{6}) \end{eqnarray*}$

Schritt 1:
y(2) auf sin umschreiben, d.h.
$\begin{eqnarray*} y(2 mit sin) = -3 \cdot sin(2t + \frac{-4PI}{3}) \end{eqnarray*}$

Ab hier komme ich nicht mehr weiter unglücklich

Aufgabe 2:
Betrachen Sie die folgenden komplexen Zahlen $\begin{eqnarray*} z = \frac {u^7}{v^5} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} u = -2 + 2i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v = 1 + i \cdot Wurzel3 \end{eqnarray*}$ (Wie schreibe ich Wurzel 3 in Latex?)

a) Schreiben Sie die Zahlen in Polarkoordinaten:
$\begin{eqnarray*} u = Wurzel8 * e^\frac{3PI \cdot i}{4} \end{eqnarray*}$ (Wie schreibe ich PI?)
$\begin{eqnarray*} v = 2 * e^\frac{PI \cdot i}{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z = Wurzel2 * 32 * e^\frac{19PI\cdot i}{12} \end{eqnarray*}$

b) Berechnen Sie z in der Form $\begin{eqnarray*} z = \frac {a + ib}{c + id} \end{eqnarray*}$ und berechnen Sie daraus den Real- und Imaginärteil.
c) Bestimmen Sie durch Vergleich ihrer Ergebnisse in a) die Werte von cos(5PI/12) und sin (5PI / 12).

Also wenn ich z aus Aufgabenteil a nehme, dann kann ich das doch umschreiben zu $\begin{eqnarray*} z = Wurzel2 * 32 * (cos 19PI/12 + i \cdot sin 19PI/12) \end{eqnarray*}$ und hab dann schon meinen Real- und Imaginärteil oder? Und wo ich jetzt die Werte von c einsetze weiß ich auch nicht.
Außerdem ist mir nicht klar, ob ich den Taschenrechner auf DEG oder RAD einstellen muss, wenn ich z.b. Re(z) und Im(z) berechnen möchte, das wäre hier nämlich
$\begin{eqnarray*} Re(z) = Wurzel2 \cdot 32 \cdot cos(19PI/12) = 45,08 (DEG) / 11,71 (RAD) \end{eqnarray*}$

Vielen Dank für Eure Hilfe.
Grüße, Markus

18.04.2009, 12:53

Elvis

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latex
So viele Fragen auf einmal, daraus könnte man auch mehrere Aufgaben machen, wenn sie das nicht schon wären. Augenzwinkern

Fangen wir mal mit etwas Leichtem an. Wurzel aus pi schreibt sich so: $\begin{eqnarray*} \sqrt{\pi} \end{eqnarray*}$ . Alles in der geschweiften Klammer kommt unter das Wurzelzeichen.

Bei fast allen Rechnungen mit trigonometrischen Funktionen und / oder komplexen Zahlen ist das Rechnen mit Winkeln im Bogenmaß (RAD) dem Rechnen mit Winkeln in Grad (DEG) vorzuziehen. Die meisten Formeln setzen das voraus, wenn irgendwo $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ auftaucht, ist das selbstverständlich.

Die Aufgabe 2b ist vermutlich so gemeint, daß du $\begin{eqnarray*} z=\frac{u^7}{v^5} \end{eqnarray*}$ berechnen sollst aus $\begin{eqnarray*} a+ib=u^7 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c+id=v^5 \end{eqnarray*}$

18.04.2009, 13:07

markustm

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Komplexe Zahlen
Hey Elvis, danke für die schnelle Antwort.
Ja, das hab ich mir bei 2b auch gedacht, aber dann schreib ich das um in die e-Fkt. und es kommt genau das raus, was ich unter Aufgabe 1 schon rausbekommen habe, sprich
$\begin{eqnarray*} z = \sqrt{2} * 32 * e^\frac{\pi\cdot 19i}{12} \end{eqnarray*}$ . Hier weiß ich hingegen nicht, ob ich das einfach wieder so zurück schreiben kann, dass ich es in dieser Form habe, aus der ich Im(z) und Re(z) ablesen kann. $\begin{eqnarray*} z = r (cos ß + i \cdot sin ß) mit ß = \frac{19\pi}{12} und r = \sqrt{2}\cdot 32 \end{eqnarray*}$

18.04.2009, 13:22

Elvis

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Eulerformel
Bekanntlich gilt $\begin{eqnarray*} e^{i\varphi}=cos(\varphi)+i\cdot sin(\varphi) \end{eqnarray*}$ . Das hilft bei der Umrechnung zwischen cartesischen Koordinaten und Polarkoordinaten in $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$

18.04.2009, 14:27

markustm

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RE: Eulerformel
Okay, dann hab ich den Teil auch noch richtig, aber was ist mit Aufgabe 1? Hast du da einen Ansatz wie ich weiterkomme?
Ich schreibe beide Formeln um in die e-Fkt nachdem ich die 2t rausgenommen habe, da sie unwesentlich sind für die Amplitudenhöhe.
Ist es möglich, den folgenden Ausdruck dann so umzuschreiben:
$\begin{eqnarray*} y(1) = 2 \cdot sin(2t + \frac{2PI}{3}) \end{eqnarray*}$
umgeschrieben:
$\begin{eqnarray*} y(1) = 2 \cdot e^{\frac{2\pi}{3}} \end{eqnarray*}$
weil wenn ich das jetzt wieder zurückschreiben würde, dann steht da:
$\begin{eqnarray*} y(1) = 2(cos(\frac{2PI}{3}) + i * sin(\frac{2PI}{3})) \end{eqnarray*}$
In welche Richtung ist diese Umschreibung dann möglich?
Von e zu cos und i sin oder von cos und i sin zu e?

18.04.2009, 14:47

Dorika

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Hey,

zu 1)
Deine Umformung auf sin ist falsch.
Hab mal eine Datei hochgeladen. Denn cos = sin um $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ nach rechts verschoben.
Daher musste
$\begin{eqnarray*} f_2(t)=-3\cdot sin (2t-\frac{1}{3}) \end{eqnarray*}$
folgen.
Dann darfst du aufgrund der Tatsache, dass beie Funktionen "nur" sin enthalten, diese in die e Funktion bringen.

lg

PS: Nimm an, $\begin{eqnarray*} cos(2t+\frac{5}{6} \end{eqnarray*}$ ist die blaue Linie, dann siehst du, was ich meine.

18.04.2009, 15:01

outSchool

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RE: Komplexe Zahlen

Zitat:

Original von markustm
Hey, dies ist mein erster Eintrag in diesem Forum, daher bitte ich euch, falls ich etwas falsch mache, es mir direkt zu sagen.
Habe hier eine Aufgabe, die ich nicht lösen kann.
Aufgabe 1:
Berechnen Sie die Überlagerung folgender, harmonischer Schwingungen mit Hilfe der komplexen e-Fkt, indem Sie die Schwingungen zunächst in die komplexe Darstellung überführen und anschließend die komplexen Amplituden addieren. Geben Sie die überlagerte Schwingung in der Form $\begin{eqnarray*} y(t) = A \cdot sin(wt + ß ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y(1) = 2 \cdot sin(2t + \frac{2PI}{3}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y(2) = -3 \cdot cos(2t + \frac{-5PI}{6}) \end{eqnarray*}$

Schritt 1:
y(2) auf sin umschreiben, d.h.
$\begin{eqnarray*} y(2 mit sin) = -3 \cdot sin(2t + \frac{-4PI}{3}) \end{eqnarray*}$

Ab hier komme ich nicht mehr weiter unglücklich

. . .
Vielen Dank für Eure Hilfe.
Grüße, Markus

Hallo Markus,
zuerst zu Latex:
Du kannst den Formeleditor( Link unter dem Editor) benutzen und dann mit dem f(x)-Button einbinden oder im Thread den Button "Zitat" klicken dann wird dir der Thread im Editor angezeigt.

Zu Aufgabe 1:

Am schnellsten kommst du durch, wenn du zuerst zeigst, dass gilt:

$\begin{eqnarray*} y(t) = A \cdot \sin(\omega t + \varphi) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y(t) = A \cdot \frac{1}{2i} \left(e^{i(\omega t + \varphi)} - e^{-i(\omega t + \varphi)} \right) \end{eqnarray*}$

. . .

$\begin{eqnarray*} y(t) = A \cdot e^{i\varphi}\cdot \sin(\omega t) \end{eqnarray*}$

Dann die Schwingungen addieren:

$\begin{eqnarray*} y(t) = y_1(t) + y_2(t) = (A_1 \cdot e^{i\varphi_1} + A_2 \cdot e^{i\varphi_2})\cdot \sin(\omega t) \end{eqnarray*}$

Jetzt zum schwierigen Teil. Die Amplitude A ist:

$\begin{eqnarray*} A = \mid y_0 \mid = \sqrt{y_0 \cdot \overline{y_0}} \end{eqnarray*}$

und die Phase

$\begin{eqnarray*} \beta = arctan\left(\frac{Im(A)}{Re(A)}\right) \end{eqnarray*}$

Wenn du Fragen hast, poste deine Zwischenergebnisse.

19.04.2009, 14:38

markustm

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RE: Komplexe Zahlen
Zu Aufgabe 1:

Am schnellsten kommst du durch, wenn du zuerst zeigst, dass gilt:

$\begin{eqnarray*} y(t) = A \cdot \sin(\omega t + \varphi) \end{eqnarray*}$

Hier kann ich mir die Umformung nicht erklären. Steht das in einer Formelsammlung, dass ich sin so umformen kann? Mit meinen bekannten Methoden schaffe ich es nicht, hier umzuwandeln.

$\begin{eqnarray*} y(t) = A \cdot \frac{1}{2i} \left(e^{i(\omega t + \varphi)} - e^{-i(\omega t + \varphi)} \right) \end{eqnarray*}$

Auch hier das gleiche leider, selbst wenn ich den ersten Schritt gekonnt hätte, so weiß ich nicht, wie du hier auf den Schluss kommst.

$\begin{eqnarray*} y(t) = A \cdot e^{i\varphi}\cdot \sin(\omega t) \end{eqnarray*}$

Danke aber erstmal für eure Antworten. Ich habe mittlerweile noch einen Lösungsansatz bekommen. Hier schreibe ich y(1) und y(2) als
$\begin{eqnarray*} y(1) = 2 \cdot e^{\frac{2\pi \cdot i}{3}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y(2) = -3 \cdot e^{- \frac{\pi \cdot i}{3}} \end{eqnarray*}$
Der nächste Schritt heißt dann die jeweiligen Imaginär- und Realteile zu addieren, aber wenn ich die e-Fkt wieder umschreibe mit [latex] y(x) = r (cos (x) + i \cdot sin(x) ) dann könnte ich zwar die gesuchten Teile ablesen, aber die Umformung zurück wäre ja dann falsch, weil aus der Ausgangsaufgabe nur sin hervorgeht.

Grüße,
Markus

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