punktweise u. gleichmäßige Konvergenz

19.04.2009, 14:48

DasTinchen

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punktweise u. gleichmäßige Konvergenz

Hi!

ich weiß zu dem thema gibt es schon ganz viel hier im forum... aber irgendwie will es einfach nicht in meinen kopf und ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.

zum einen... ich glaube das ich den unterschied zwischen punktweiser und gleichmäßiger konvergenz im ansatz verstanden habe.

aber irgendwie scheitert es dann bei der umsetzung. als bsp. mal folgende bemerkung aus unserem skript:

Sei $\begin{eqnarray*} f_{n}: [0,1] \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N_{0} \end{eqnarray*}$ definiert durch $\begin{eqnarray*} f_{n}=x^n \end{eqnarray*}$ .

Sei ferner $\begin{eqnarray*} f: [0,1] \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ definiert durch
$\begin{eqnarray*} f(x):= \lim_{n \to \infty} f_{n}(x)=\lim_{n \to \infty} x^n= f(n)= \begin{cases} 0 & 0 \leq x < 1 \\ 1 & x = 1 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Nach Definition konvergiert die Folge punktweise gegen f. Die Konvergenz ist aber nicht gleichmäßig, da

$\begin{eqnarray*} \parallel f_{n}-f \parallel_{\infty} \geq \mid f_{n}(\frac{1}{\sqrt[n]{2}})- f (\frac{1}{\sqrt[n]{2}}) \mid = \mid \frac{1}{2} - 0 \mid = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ für alle n $\begin{eqnarray*} \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

so ... was ich daran nicht verstehe (...davon mal abgesehen, dass mir wahrscheinlich noch einiges an verständnis für punktweise und gleichmäßige konvergenz fehlt) ist: wie zur hölle bin ich auf den schluss gekommen????

böse

böse

böse

böse

es will einfach nicht in meinem kopf...

wäre super wenn mir das jemand mal für doofe erklären könnte.

lg
tinchen

19.04.2009, 14:57

Mazze

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Wenn ich

$\begin{eqnarray*} \parallel f_{n}-f \parallel_{\infty} = \sup_{x \in [0,1]}|f_n(x) - f(x)| \geq \mid f_{n}(\frac{1}{\sqrt[n]{2}})- f (\frac{1}{\sqrt[n]{2}}) \mid = \mid \frac{1}{2} - 0 \mid = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

schreibe, ist es Dir dann klar? Alles was nach der Ungleichung kommt ist ja nur noch einsetzen.

19.04.2009, 15:02

Elvis

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Gleichmäßige Konvergenz
Das ist einfach so, daß die Supremum-Norm $\begin{eqnarray*} \parallel f_n-f \parallel_{\infty} \end{eqnarray*}$ mindestens so groß sein muß wie der Abstand an einem festen Punkt , hier z.B. der Punkt $\begin{eqnarray*} \frac {1}{\sqrt[n]2} \end{eqnarray*}$ .
Wenn eine Folge von stetigen Funktionen gleichmäßig gegen f konvergiert, muß f stetig sein. Das ist hier offenbar nicht der Fall. Daran kannst du sehr schön sehen, we sich gleichmäßige Konvergenz und punktweise Konvergenz unterscheiden.

19.04.2009, 15:06

DasTinchen

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nein... leider nicht wirklich...

ich verstehe daran nämlich zwei sachen nicht....

1. warum 1/...
und
2. warum die n-te wurzel aus 2?

hätte dort nicht einfach nur $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{x} \end{eqnarray*}$

stehen können... sollen... wie auch immer...?

ich befürchte fast ich übersehe mal wieder irgendwas wichtiges... verwirrt

verwirrt

traurig

19.04.2009, 15:15

Mazze

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Der Wert $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt[n]{2}} \end{eqnarray*}$ wurde nur genommen, weil am Ende eine schöne Zahl rauskommt. Man hätte die n-te Wurzel jeder bel. Zahl aus (0,1) nehmen können. Der wichtige Schritt ist im wesentlichen der Ungleichungsschritt. Zunächst sollte Dir klar sein das für alle Funktionen mit Definitionsbereich D

$\begin{eqnarray*} \sup_{x \in D}|f(x)| \geq |f(x)| ~ \forall x \in D \end{eqnarray*}$

gilt, sofern das Supremum existiert. Die Supremumsnorm so geschrieben $\begin{eqnarray*} ||f - g||_\infty \end{eqnarray*}$ gibt den größten Abstand der zwei Funktionen f und g an, bzw. die kleinste obere Schranke der Abstände. Das heisst wählst Du ein bel. x und wertest

$\begin{eqnarray*} |f(x) - g(x)| \end{eqnarray*}$

aus, dann ist das höchstens so groß wie der Maximale Abstand.

19.04.2009, 15:20

DasTinchen

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achsoooooo... Hammer

Hammer

und ich wunder mich als wo die zahl herkommt...

danke!!! Gott

Gott

jetzt wird mir einiges klarer

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19.04.2009, 15:28

DasTinchen

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bleibt nur noch eine frage offen...

wie komme ich dann auf 1/2 - 0 ????

19.04.2009, 15:29

Mazze

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Einfach einsetzen? Das solltest Du können. $\begin{eqnarray*} f_n,f \end{eqnarray*}$ wurden doch definiert.

19.04.2009, 16:48

Duedi

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Darf ich mich auch kurz einmischen? Wenn man jetzt statt $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt[n]{2}} \end{eqnarray*}$ einfach $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ einsetzt, dann bekommt man am Schluss der Ungleichungskette $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2^n} \end{eqnarray*}$ raus. Genügt das auch, da das ja $\begin{eqnarray*} > 0~ \forall n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ ist oder stört da die Konvergenz zur 0? Andere "Version" der Frage: Ist die Tatsache, dass mit dem speziellen Wert mit der n-ten Wurzel das n herausfliegt, rein kosmetisch?

19.04.2009, 18:38

Elvis

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gleichmäßige Konvergenz
Hallo,
wie so oft in der Mathematik steckt die Wahrheit in den Definitionen, Sätzen und formalen Beweisen. Demgegenüber steht unser unpräzises Denken, Reden und unsere Anschauung, die auch immer wieder auf ungenaue Bilder hereinfällt.

Wir haben in diesem Beispiel eine Folge von Funktionen, die punktweise konvergiert, d.h. für jeden festen Wert $\begin{eqnarray*} x \in [0,1] \end{eqnarray*}$ existiert der Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} x^n \end{eqnarray*}$ .
Diese Konvergenz ist genau dann gleichmäßig, wenn für jedes $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ ein Index $\begin{eqnarray*} n(\epsilon )\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ existiert, so daß für alle $\begin{eqnarray*} n\geq n(\epsilon ) \end{eqnarray*}$ und alle $\begin{eqnarray*} x \in [0,1] \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} |f_n(x)-f(x)|<\epsilon \end{eqnarray*}$ .

Die Folge $\begin{eqnarray*} (\frac{1}{\sqrt[n]2})_{n\in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ ist nun so geschickt gewählt, daß $\begin{eqnarray*} |f_n(x_n)-f(x_n)|=\frac 1 2 \end{eqnarray*}$ . Daher ist das Kriterium der gleichmäßigen Konvergenz nicht für alle $\begin{eqnarray*} x \in [0,1] \end{eqnarray*}$ erfüllt. Also ist die Folge nicht gleichmäßig konvergent.

Unsere bisherigen Beiträge haben fälschlicherweise von einem "Punkt" oder "Wert" statt von einer "Folge" $\begin{eqnarray*} (\frac{1}{\sqrt[n]2})_{n\in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ gesprochen.

19.04.2009, 19:48

Duedi

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RE: gleichmäßige Konvergenz

Zitat:

Original von Elvis
Unsere bisherigen Beiträge haben fälschlicherweise von einem "Punkt" oder "Wert" statt von einer "Folge" $\begin{eqnarray*} (\frac{1}{\sqrt[n]2})_{n\in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ gesprochen.

Ja, ist mir aufgefallen (eine Folge ist aber auch viel eleganter wie ich finde), aber das war nicht meine Frage. Funktioniert es auch, wenn man den PUNKT 0.5 einsetzt?

19.04.2009, 19:52

Elvis

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Nee, eben nicht. unglücklich

unglücklich

unglücklich

unglücklich

Egal, welchen Punkt man einsetzt, konvergiert $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ . Das habe ich doch eben gesagt.

19.04.2009, 20:14

Duedi

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Aaah natürlich, es geht ja hier um das Supremum, nicht das Maximum. Danke smile

smile

20.04.2009, 17:18

Elvis

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gleichmäßige Konvergenz
@Duedi
tut mir leid, dich zu enttäuschen, aber darum geht es nicht. Es ist egal, ob man mit Supremum, Maximum, Abstand oder sonst etwas argumentiert. Die Fakten sind in diesem sehr lehrreichen Beispiel immer dieselben.
Es gibt beliebig viele Folgen $\begin{eqnarray*} x_n\rightarrow 1 \end{eqnarray*}$ für die $\begin{eqnarray*} f_n(x_n)\rightarrow 0 \neq 1=f(1) \end{eqnarray*}$ gilt.

20.04.2009, 18:28

Duedi

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Naja, ich meinte die Tatsache, dass hier mit der Supremumshalbnorm gerechnet wird. Wenn nicht das Supremum sondern das Maximum von $\begin{eqnarray*} |f_n(x)<f(x)| \end{eqnarray*}$ gemeint wäre, wäre der Grenzwert nicht "dabei" und obwohl der Betrag konvergiert, wäre er immer größer 0, da beim Rechnen mit dem Maximum der Grenzwert nicht mit eingeschlossen wäre.

Oder irre ich mich komplett?

20.04.2009, 19:10

Elvis

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@Duedi
ja, du bist ganz und gar auf dem falschen Weg. Augenzwinkern

Augenzwinkern

@Alle
ich kann jedem/jeder nur empfehlen, die Definition zu studieren. Vielleicht hilft auch eine Skizze - ich habe mir "im Kopf" eine Skizze gemacht, also eine Vorstellung der Familie der Funktionen $\begin{eqnarray*} f_n(x)=x^n, x\in [0,1] \end{eqnarray*}$
Mit wachsendem $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ werden die Funktionen immer "flacher" auf immer größeren Teilen des Intervalls, aber immer "steiler" gegen 1 hin. Man kann dann "geometrisch" so vorgehen, daß man eine weitgehend beliebige stetige Funktion auf $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ konstruiert, die links oben anfängt und nach rechts hin gegen 0 strebt. Jede derartige Funktion besitzt einen Graphen, der die Graphen der $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ schneidet. Die Folge der x-Werte $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ wählt man dann einfach so, daß für jedes n $\begin{eqnarray*} f_n(x_n) \end{eqnarray*}$ gleich diesem "n-ten Schnittpunkt" ist, das gibt eine Nullfolge. ABER für $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} x^n\rightarrow 1 \end{eqnarray*}$ , und 1 ist ganz weit von 0 entfernt (egal wie der Abstand gemessen wird).

20.04.2009, 20:51

Duedi

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Zitat:

Original von Mazze
$\begin{eqnarray*} \parallel f_{n}-f \parallel_{\infty} = \sup_{x \in [0,1]}|f_n(x) - f(x)| \end{eqnarray*}$

Kommt vor das $\begin{eqnarray*} \sup \end{eqnarray*}$ noch ein Grenzwert? Wenn ja, habe ich meinen Denkfehler.

21.04.2009, 19:40

Elvis

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Nein, das ist so in Ordnung. Das Supremum ist die kleinste obere Schranke, gilt für alle x aus dem Definitionsbereich, und gilt für ein beliebiges aber festes n.

21.04.2009, 20:03

Duedi

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So ich denke ich habs jetzt: Normalerweise müsste man zu Überprüfung der gleichmäßigen Konvergenz den Grenzwert der Supremumshalbnorm für n gegen unendlich laufen lassen. Da man aber mit dem speziellen Wert $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt[n]{2}} \end{eqnarray*}$ einen konstanten Wert erhält, braucht man den Grenzwert nicht einmal bilden, weil er ohnehin nicht 0 wird?

21.04.2009, 20:16

Elvis

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Ja, so ist es, das gilt für alle n und alle x. Der Grenzwert ist $\begin{eqnarray*} \frac 1 2 >0 \end{eqnarray*}$ und deshalb größer als fast alle $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ , die wir wählen würden.

Eine kleine Korrektur : $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt[n]2} \end{eqnarray*}$ ist immer noch kein x-"Wert", sondern eine "Folge von x-Werten".

21.04.2009, 20:25

Duedi

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Juhuu ich habs gerafft Big Laugh

Big Laugh

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