irreduzibel <--> prim

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annalena Auf diesen Beitrag antworten »
irreduzibel <--> prim
Hallo zusammen!

es gilt im Ring folgende Aussage:
falls p ein Primelement, dann ist p gleichzeitig irreduzibles Element.

das ist mir klar, denn: sei p=x*y. OE p teilt x. Dann existiert c mit p*c=x. Also p=pcy, also yc=1, also y ist eine Einheit, und damit ist p irreduzibel.

Im Hauptidealring ist diese Aussage äquivalent, also prim <--> irreduzibel. Eine Richtung geht genauso wie oben, aber wie zeig ich dass aus irreduzibel prim folgt??

hat jemand eine Idee?? Gott Hilfe Hilfe
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
es gilt im Ring folgende Aussage:
falls p ein Primelement, dann ist p gleichzeitig irreduzibles Element.

das ist mir klar, denn: sei p=x*y. OE p teilt x. Dann existiert c mit p*c=x. Also p=pcy, also yc=1, also y ist eine Einheit, und damit ist p irreduzibel.

du machst es dir etwas zu einfach:

p=pcy <=> p-pcy=0 <=> p(1-cy)=0

also du solltest schon Ring mit 1 und nullteilerfrei voraussetzen, damit "prim => irred" gilt.
Ohne 1 redet man denke ich gar nicht von irreduzibilität etc, aber Nullteilerfreiheit sollte man mindestens fordern.
Im beliebigen Ring ist das falsch.



Über die andere Richtung muss ich erst noch nachdenken, gibt es irgendwelche tollen Aussagen über HIRe, die einem da helfen könnten?
Bei dir sind diese Dinge kürzer her als bei mir.
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube, bei euch ist ein Hauptidealring das Gleiche, was bei mir ein Hauptidealbereich ist. Da funktioniert die Rückrichtung so: Sei irreduzibel und . Ferner gelte und . Dann gilt . Daraus folgt, dass oder .
1. Fall: Es sei . Da wir uns in einem Hauptidealbereich befinden, folgt , insbesondere also und damit .
Den 2. Fall überlasse ich dir Augenzwinkern


Gruß, therisen
gast1 Auf diesen Beitrag antworten »

Jeder Hauptidealring ist faktoriell und in faktoriellen Ringen stimmen Primelemente und irreduzible Elemente überein.
Ein Beweis für die von Dir gesuchte Aussage, der direkt auf der Definition eines HIR aufbaut, ergibt sich aus folgender Implikationskette:
Sei R ein Hauptidealring und q aus R irreduzibel. Dann ist (q) ein maximales Ideal in R. Also ist (q) auch ein Primideal und da dieses von 0 verschieden ist, ist q ein Primelement.
Jeder der Implikationen ist sehr leicht nachzuprüfen, wobei für "q irreduzibel => (q) maximal" verwendet wird, dass R ein Hauptidealring ist.

Gruß
gast1
gast1 Auf diesen Beitrag antworten »

therisen: Deinen Beweis verstehe ich nicht. Er enthält einige seltsame Notationen (man sollte nicht a/b schreiben, wenn man ein Element c mit c*b=a meint; G(R) ist wohl die Einheitengruppe, oder?) und es scheint mir, als würdest du bereits verwenden, dass R faktoriell ist (warum folgt aus ggT(p,x)=1 denn, dass p y teilen muss?), womit dann aber alles trivial und nichts mehr zu zeigen ist.
Auch eine Kette wie "gamma Einheit => gamma*R=R => gamma=1" ist höchst merkwürdig, da der ggT ohnehin nur eindeutig bis auf Assoziiertheit ist und da aus einer Gleichung gamma*R=R natürlich nicht gamma=1 geschlossen werden kann, sondern lediglich, dass gamma eine Einheit ist, was wir ja schon hatten.

Gruß
gast1
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo gast1,

bedingt durch meinen Umzug habe ich erst jetzt Zeit, dir Contra zu bieten smile

Zitat:
Er enthält einige seltsame Notationen (man sollte nicht a/b schreiben, wenn man ein Element c mit c*b=a meint; G(R) ist wohl die Einheitengruppe, oder?)


Das mag gut sein, aber das kann ich nicht beurteilen, da mein Buch 1992 geschrieben wurde und dies meine einzige Algebra-Quelle ist. Ich bin ja noch kein Student Augenzwinkern

Zitat:
Deinen Beweis verstehe ich nicht. und es scheint mir, als würdest du bereits verwenden, dass R faktoriell ist


Ich schreibe mal kurz auf, was ich unter einem Hauptidealbereich verstehe, denn dort spielt sich mein Beweis ab (Wikipedia und mein Buch stimmen da nicht ganz überein):

Es sei ein kommutativer Ring.
  • Gilt und ist nullteilerfrei, dann heißt R Integritätsbereich.
  • Wird jedes Ideal von durch ein erzeugt, d.h. gilt , dann heißt Hauptidealring.

Ein Hauptidealbereich ist nun ein Hauptidealring, der zugleich Integritätsbereich ist. Ich glaube die Definition ist recht ungewöhnlich, daher erscheint dir wohl einiges trivial, was hier gar nicht der Fall ist. Aber ein Hauptidealbereich ist auch ein faktorieller Ring, wenn ich nichts übersehen habe.

Zitat:
(warum folgt aus ggT(p,x)=1 denn, dass p y teilen muss?)

Das hat jetzt aber nichts mehr mit faktoriellen Ringen zu tun, denn diese (zerstückelte) Aussage gilt in jedem kommutativen, unitären Ring : Seien und sowie . Dann ist auch .

Zitat:
Auch eine Kette wie "gamma Einheit => gamma*R=R => gamma=1" ist höchst merkwürdig, da der ggT ohnehin nur eindeutig bis auf Assoziiertheit ist und da aus einer Gleichung gamma*R=R natürlich nicht gamma=1 geschlossen werden kann, sondern lediglich, dass gamma eine Einheit ist, was wir ja schon hatten.


Es wird doch gar nicht behauptet, dass folgt. Wegen gibt es ein mit . Sei nun . Dann ist , also . Oder nicht?


Gruß, therisen
 
 
gast1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von therisen
Hallo gast1,
[...]
Ich schreibe mal kurz auf, was ich unter einem Hauptidealbereich verstehe, denn dort spielt sich mein Beweis ab (Wikipedia und mein Buch stimmen da nicht ganz überein):

Es sei ein kommutativer Ring.
  • Gilt und ist nullteilerfrei, dann heißt R Integritätsbereich.
  • Wird jedes Ideal von durch ein erzeugt, d.h. gilt , dann heißt Hauptidealring.

Ein Hauptidealbereich ist nun ein Hauptidealring, der zugleich Integritätsbereich ist. Ich glaube die Definition ist recht ungewöhnlich, daher erscheint dir wohl einiges trivial, was hier gar nicht der Fall ist. Aber ein Hauptidealbereich ist auch ein faktorieller Ring, wenn ich nichts übersehen habe.

Hi therisen,

die Dir bekannte Definition eines Hauptidealringes ist die übliche und auch bei Wikipedia steht es doch so. Daher kommen die Schwierigkeiten, die ich mit dem Beweis habe, also nicht.

Zitat:

Das hat jetzt aber nichts mehr mit faktoriellen Ringen zu tun, denn diese (zerstückelte) Aussage gilt in jedem kommutativen, unitären Ring : Seien und sowie . Dann ist auch .


Wie definierst du für einen kommutativen Ring R mit 1 den ggT zweier Elemente?
Mit den mir bekannten Definitionen stimmt Deine Aussage nämlich nicht (x,y aus R; m=ggT(x,y), falls m|x und m|y und falls aus n|x und n|y schon n|m für jedes n aus R folgt; der ggT muss nicht existieren, aber falls Rx+Ry zum Beispiel ein Hauptideal ist, so existiert der ggT von x und y und er erzeugt dieses Hauptideal).
Für ein Gegenbeispiel musste ich mich ein bisschen anstrengen, aber ich denke, dass , ein solches ist (x|yz=6, ggT(x,y)=1 da Rx+Ry=1 aber x teilt nicht z).
Zitat:



Es wird doch gar nicht behauptet, dass folgt. Wegen gibt es ein mit . Sei nun . Dann ist , also . Oder nicht?


Du hast gesetzt, dann pR+xR=gammaR=R aufgeschrieben und dann gamma=ggT(x,y)=1 gefolgert. Das ist sinnlos, aber nicht falsch, da der ggT ohnehin nur bis auf ein Produkt mit Einheiten eindeutig bestimmt ist. Wenn er also eine Einheit ist, dann ist er von mir aus auch 1.
Aber das ist nicht, was mich an dem Beweis stört. Schreib doch bitte mal auf, wie der ggT in dem Buch definiert wird und zeige mir einen Beweis für diese Aussage mit ggT(x,y)=1, x|yz => x|z. Deine Definition des ggT muss sich ja wesentlich von der mir bekannten unterscheiden, denn sonst funktioniert das obige Gegenbeispiel.

Gruß
gast1
gast1 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, Moment, zum potentiellen Gegenbeispiel:
Nach der ersten Definition des ggT ist ggT(x,y)=1 (das sieht man unter Verwendung der "Norm" ; diese ist muliplikativ, x hat Norm 4, y hat Norm 6, ein gemeinsamer Teiler kann also nur Norm 1 oder 2 haben; Norm 2 ist unmöglich, ein gemeinsamer Teiler hat also Norm 1 und ist deshalb eine Einheit).
An Rx+Ry=R glaube ich aber nicht mehr, zumindest war das, was ich mir dazu gedacht hatte, falsch.

Gruß
gast1
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Hi gast1,
so langsam könnten wir einen neuen Thread mit dem Titel "algebraische Konversation" aufmachen Big Laugh Das macht Spaß smile

Zitat:
Wie definierst du für einen kommutativen Ring R mit 1 den ggT zweier Elemente?
Mit den mir bekannten Definitionen stimmt Deine Aussage nämlich nicht (x,y aus R; m=ggT(x,y), falls m|x und m|y und falls aus n|x und n|y schon n|m für jedes n aus R folgt; der ggT muss nicht existieren, aber falls Rx+Ry zum Beispiel ein Hauptideal ist, so existiert der ggT von x und y und er erzeugt dieses Hauptideal).


In einem Integritätsbereich ist ein ggT von a und b wie folgt definiert: Genau dann ist ein ggT von und , wenn ein gemeinsamer Teiler von a und b ist und jeder gemeinsame Teiler von a und b teilt c. Das ist ja äquivalent zu deiner Definition.
Jetzt wechseln wir in einen kommutativen Ring: Die Elemente heißen teilerfremd, falls ist.
Und nun beweise ich auch noch den Satz: Da und nach Voraussetzung teilerfremd sind und R unitär ist, gibt es mit . Daraus folgt . Wegen ist also auch . qed.

Zitat:
Du hast gesetzt, dann pR+xR=gammaR=R aufgeschrieben und dann gamma=ggT(x,y)=1 gefolgert. Das ist sinnlos, aber nicht falsch, da der ggT ohnehin nur bis auf ein Produkt mit Einheiten eindeutig bestimmt ist. Wenn er also eine Einheit ist, dann ist er von mir aus auch 1.


Ich glaub du hast da etwas die Variablen vertauscht Big Laugh

Zu deinem potentiellen Gegenbeispiel kann ich bislang wenig sagen, da ich mich noch nicht mit der Adjunktion bei Ringen beschäftigt habe.


Gruß, therisen
gast1 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, dann beachte, dass ggT(a,b)=1 und "a und b sind teilerfremd" nicht äquivalent sind. Aus der Teilerfremdheit folgt zwar die Aussage über den ggT, aber nicht umgekehrt. Die Umkehrung gilt genau dann, wenn das von a und b erzeugte Ideal (a,b) ein Hauptideal ist.
Die Aussage x|yz => x|z gilt nun nicht unter der Voraussetzung ggT(x,y)=1 (siehe Gegenbeispiel), sondern unter der Voraussetzung "x und y sind teilerfremd" (teilerfremd sind die beiden Elemente beim Gegenbeispiel nämlich nicht, wie ich ja dann auch noch bemerkt hatte und was man auch leicht nachrechnen kann).

Ok, dann bin ich mit dem Beweis einverstanden, auch, wenn er meiner Meinung nach ziemlich unglücklich aufgeschrieben ist.

Aber gut, danke, dass Du die Unklarheiten beseitigt hast.

Gruß
gast1
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von gast1
Ok, dann beachte, dass ggT(a,b)=1 und "a und b sind teilerfremd" nicht äquivalent sind. Aus der Teilerfremdheit folgt zwar die Aussage über den ggT, aber nicht umgekehrt. Die Umkehrung gilt genau dann, wenn das von a und b erzeugte Ideal (a,b) ein Hauptideal ist.


Ah, wieder was gelernt. Danke smile


Gruß, therisen
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