A beautiful mind

20.04.2009, 11:42

jester.

A beautiful mind

$\begin{eqnarray*} V=\{F~ : ~ \mathbb{R}^{3} \setminus x \rightarrow \mathbb{R}^{3}~\text{so} ~ \nabla \times F=0 \} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} W=\{F=\nabla g \} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \dim \left( \frac{V}{W} \right)=? \end{eqnarray*}$

In dem Film "A beautiful mind" kritzelt der genervte Professor John Nash dieses Problem an die Tafel und meint, einige Studenten würden Monate brauchen, um es zu lösen, andere ihr ganzes Leben.

Ich frage mich: Ist dieses Problem, so wie es gestellt ist, überhaupt ein sinnvoll gestelltes Problem? Falls ja, worum geht es dabei?

22.04.2009, 22:13

gast1

Auf diesen Beitrag antworten »

In modernerer Sprechweise lautet die Aufgabe, die 2. de Rham Kohomologie von IR^3\X zu berechnen. Dies ist für mich nur sinnvoll, wenn man IR^3\X irgendwie als Mannigfaltigkeit auffassen kann, was für beliebige X nicht möglich ist. Für abgeschlossene X ist die Menge eine Mannigfaltigkeit und nach dem Satz von de Rham soll man dann die singuläre Kohomologie von IR^3\X berechnen. Da kann man keine allgemeine Antwort erwarten, man müsste schon ein konkretes X oder zumindest konkrete Informationen über die Beschaffenheit von X haben, um hier etwas Sinnvolles sagen zu können.

23.04.2009, 11:15

jester.

Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm...

Das sagt mir alles nichts. Big Laugh

1. Semester eben... Augenzwinkern

23.04.2009, 12:27

gast1

Auf diesen Beitrag antworten »

Um eine grobe Idee zu bekommen: Bei mehrdimensionalen Funktionen hat man verschiede "Ableitungen", die Rotation und die Divergenz. V ist die Menge aller Funktionen, deren Rotation verschwindet. W die Menge aller Funktionen, die sich als Divergenz einer anderen Funktion schreiben lassen. Es ist nun ein Fakt, dass die Rotation jeder Funktion, die sich als Divergenz von etwas schreiben lässt, verschwindet. Mit anderen Worten, W ist eine Teilmenge von V. Die Umkehrung gilt allerdings nicht, d.h. die beiden Mengen sind nicht gleich. Aufgabe ist es, in geeignetem Sinne zu beschreiben, wie viel größer V denn als W ist.

23.04.2009, 12:29

gast1

Auf diesen Beitrag antworten »

Achja: Die Antwort hängt eben von der Menge ab, auf der die Funktionen definiert sind, das ist IR^3\X. Es gibt X, so dass die Mengen V und W tatsächlich gleich sind, aber im allgemeinen kann der Unterschied sehr kompliziert sein.

23.04.2009, 17:17

jester.

Auf diesen Beitrag antworten »

Darunter kann ich mir schon eher etwas vorstellen. Danke! smile

15.07.2011, 18:04

mathinitus

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: A beautiful mind
Die einzige Forderung an $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ist hier doch wohl, dass es abgeschlossene Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ ist, damit das Komplement dann offen ist und die Ableitung definiert ist, oder?
Erwartet man hier für die Dimension in der Regel (hängt natürlich von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ab) etwas endliches?
Wie schaut es aus, wenn wir für $\begin{eqnarray*} X=\emptyset \end{eqnarray*}$ nähmen?

16.07.2011, 02:00

gonnabphd

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Wie schaut es aus, wenn wir für $\begin{eqnarray*} X=\emptyset \end{eqnarray*}$ nähmen?

In diesem Fall ist die 1. Kohomologiegruppe (oben wurde fälschlicherweise von der 2. geredet) trivial. Allgemein besitzt jedes rotationsfreie Vektorfeld ein Potential, falls $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \setminus X \end{eqnarray*}$ einfach zusammenhängend ist.

Zitat:

Erwartet man hier für die Dimension in der Regel (hängt natürlich von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ab) etwas endliches?

Grundsätzlich nicht. Ich habe mal die Kohomologie für $\begin{eqnarray*} X = \mathbb Z^2 \times \mathbb R \end{eqnarray*}$ berechnet, und die zweite Kohomologiegruppe ist da als Vektorraum isomorph zu $\begin{eqnarray*} \mathbb R^\mathbb{N} \end{eqnarray*}$

Leider kenne ich mich mit algebraischer Topologie noch nicht genügend gut aus, um mir ein Bild von Mengen X, für welche die Dimension endlich ist, machen zu können - da bin ich dann auch total verloren.

Auf alle Fälle ist die Aufgabe aus dem Film ohne Angabe von X nicht sehr sinnvoll (wie das ja meistens der Fall ist)

16.07.2011, 02:36

leithian

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

das ? im Film ist tatsächlich eine 8.

Damit kann man dann X "raten".

mfg

16.07.2011, 07:45

mathinitus

Auf diesen Beitrag antworten »

Das soll eine 8 sein? Und die Aufgabe soll dann sein, alle X zu bestimmen, so dass dim(V/W)=8?

16.07.2011, 09:49

mathinitus

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von gonnabphd
Auf alle Fälle ist die Aufgabe aus dem Film ohne Angabe von X nicht sehr sinnvoll (wie das ja meistens der Fall ist)

Während er die Aufgabe an die Tafel schreibt, sagt er auch kein bissche3n was zu der Aufgabe selbst. Normalerweise würde man ja, gerade wenn man so knapp schreibt, erwarten, dass man kurz erklärt was man meint. Wenigstens so ein bisschen mitsprechen wie:
"Sei V der Vektorraum der stetig-differenzierbaren Funktionen von R^3\X auf R^3 mit der zusätzlichen Eigenschaft, dass die Rotation verschwindet und sei weiterhin W..."

Aber wahrscheinlich hat Russell Crowe einfach nur das Tafelbild auswendig gelernt und nicht die geringste Ahnung von dem, was es bedeutet, was er hier schreibt.

16.07.2011, 13:26

leithian

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja,

am besten überlegt man sich das erstmal 2 dim ohne was rauszuschneiden und baut daraus dann die 3dim Lösung.

mfg

Neue Frage »

Antworten »

A beautiful mind

Verwandte Themen