Partitionen von Äquivalenzrelationen

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Stoli Auf diesen Beitrag antworten »
Partitionen von Äquivalenzrelationen
Hi liebe leute, meine aufgabenstellung ist folgende:

Man zeige das durch aRb <=> 3|a^2 - b^2 a,b element von Z eine Äquivalenzrelation R in der Menge Z erklärt wird und bestimme die zugehörende partition.

Ich habe die Reflexivität aRa gezeigt sowie die Symmetrie und die Transivität. Das war kein problem, hat bisschen zeit gekostet aber war okay.

Nun muss ich allerdings die zugehörenden partitionen dazu bestimmen und ich weis wirklich nicht weiter, ich habe mir diverse lösungsansätze angeschaut allerdings waren diese relativ schwach da ich sie einfach nicht verstanden habe. Das problem liegt also darin das ich nicht verstehe wie das gerechnet werden soll.

In den diversen lösungen wird angefangen indem man die äquivalenzklassen irgendwie rumwerkelt.

wie hier: http://img24.imageshack.us/img24/6240/picture1tle.png

Ich verstehe mal grundlegend den schritt nicht aR0 zu setzen und wieso das b2 einfach entfernt wurde.
Gut ich sehe schon ein das wir eine relation aR0 erstellen, das a bleibt vorhanden, und die relation sollte trotzdem durch 3 teilbar sein.
Wieso steht dann aber bei den zahlen 0 3 6 9 etc " = 0 mod 3"

Das kann doch unmöglich stimmen oder richtig sein.

Generell wäre ich dankbar wenn mir jemand anhand eines beispieles erklären könnte wie partitionen funktionieren bzw wie man diese aufgabenstellung löst =/

Sitze seit 4 stunden daran rum und bin kein bissen schlauer geworden und mein kopf dampft einfach nurnoch.

Edit (mY+): Hilferuf aus dem Titel entfernt!
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Hi Stoli,

Also das wurde entfernt, da ja hier betrachtet wird, das ist in diesem Falle also 0. ()

Weiter ist
Es sind also genau alle Zahlen in Relation zu 0, die durch drei teilbar sind, d.h. alle Zahlen, die bei Division durch 3 den Rest 0 ergeben. Und dazu sagt man eben: die Zahlen, die kongruent 0 modulo 3 sind. (Siehe auch hier.) Damit:


Du hast nun bereits eine Äquivalenzklasse gefunden, jetzt nimmst Du Dir eine Zahl vor, die nicht in dieser Klasse liegt, beispielsweise 1, und rechnest dann als nächstes aus.

Gruß,
Reksilat.
Stoli Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Reksilat
Hi Stoli,

Also das wurde entfernt, da ja hier betrachtet wird, das ist in diesem Falle also 0. ()

Weiter ist
Es sind also genau alle Zahlen in Relation zu 0, die durch drei teilbar sind, d.h. alle Zahlen, die bei Division durch 3 den Rest 0 ergeben. Und dazu sagt man eben: die Zahlen, die kongruent 0 modulo 3 sind. (Siehe auch hier.) Damit:


Du hast nun bereits eine Äquivalenzklasse gefunden, jetzt nimmst Du Dir eine Zahl vor, die nicht in dieser Klasse liegt, beispielsweise 1, und rechnest dann als nächstes aus.

Gruß,
Reksilat.


HI Reksilat,

Danke für die antwort, habe ich das richtig verstanden das richtig ist weil a^2 ein vielfaches von a ist und damit auch durch drei teilbar ist.

Macht jetzt schonmal ziemlich viel sinn, ich versuchs mal für die restklasse 1.
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Nicht ganz - aber drei ist eine Primzahl und wenn 3 ein Teiler von a² ist, dann eben auch von a. Für 9 funktioniert das nicht mehr, wie Du Dir leicht klarmachen kannst (9|3² aber nicht 9|3)

Gruß,
Reksilat.
Stoli Auf diesen Beitrag antworten »

aR1 <=> 3 | a^2 -1 <=> 3 | (a+1) * (a-1)

Also können entweder a+1 oder a-1 hier die mengen darstelllen da beides gehen würde, habe ich das richtig verstanden?

und für 3| a+1 = { 1+k*3 | K element von Z}
und für 3 | a-1 ={-1 + k*3 | k element von Z}

Keine ahnung ob das stimmt, und was die modulos dafür sind.

Das ist der punkt wo es wirklich bei mir hängt, ich weis das es immer jeweils mod 3 ist da es ein vielfaches ist,

aber die zahl vor dem modulo geht mir halt nicht in den sinn. Wenn ich für k im ersten eine null reinsetze würde ich = 4 mod 3 hinschreiben was aber nicht stimmen kann oO.

=/
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Na es geht hier nur um die Reste bei Division durch 3, also kann eine Zahl modulo 3 nur kongruent zu 0, 1 oder 2 sein. Kongruent 4 mod 3 ist dann das gleiche wie kongruent 1 mod 3.
Kongruent 0 mod 3: ...,-9,-6,-3,0,3,6,9,...
Kongruent 1 mod 3: ...,-8,-5,-2,1,4,7,...
Kongruent 2 mod 3: ...,-7,-4,-1,2,5,8,...

Zu Deinem Problem:
Überstürze nicht gleich alles, sondern versuche erstmal fertig aufzuschreiben. Arbeite auch mit konkreten Zahlen. Welche Zahlen sind drin, welche nicht?

Gruß,
Reksilat.
 
 
Stoli Auf diesen Beitrag antworten »

Ich versuchs, melde mich hier nochmal wenn ich das nochmal überdacht und richtig aufgeschrieben habe. Mir gehts darum das ich das wirklich verstehen will, weil einfach abgeben bringt mir garnix wenn ichs bei der prüfung ned kann und oder vor der tafel wie ein idiot darstehe.

Na ja versuchen zählt doch auch :P
Stoli Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich habs jetzt nochmal gemacht:


Kongruent 0 mod 3: ...,-9,-6,-3,0,3,6,9,...
Kongruent 1 mod 3: ...,-8,-5,-2,1,4,7,...
Kongruent 2 mod 3: ...,-7,-4,-1,2,5,8,...

+1 + k*3 "Kongruent" 1 mod 3 ( 1 4 7 etc)
-1 + K*3 "Kongruent" 2 mod 3 ( 2 5 8 etc)

Ich verstehe nicht ganz wie ich welches davon zu a +1 oder a -1 in relation bringen soll.
Ich sehe das so das beim a+1 die zahl einfach auf die andere seite gebracht wird nur das vorzeichen getauscht wird.

im sinne von:

a+1 = "ZAHL" + 3*k Kongruent 1 mod 3
a -1 = "Zahl" + 3*k Kongruent 2 mod 3

Wie genau bestimme ich das oder gehe diesen nächsten schritt richtig an?
Das wäre ja alles weil im endeffekt muss ich ja dann nurnoch schreiben das die vereinigung dieser mengen Z darstellen und wir somit unsere partitionen hätten.

Ich verstehe aber wie gesagt nicht wie ich a+1 oder a-1 zu den kongruenzen assoziere bzw umwandle in die x +3k kongruenz x mod 3 form bringe.
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Hi stoli,

Ich verstehe nicht wirklich, was Du dort schreibst:
Zitat:
Ich verstehe nicht ganz wie ich welches davon zu a +1 oder a -1 in relation bringen soll.
Mit "welches" beziehst Du Dich worauf?
Zitat:
Das wäre ja alles weil im endeffekt muss ich ja dann nurnoch schreiben das die vereinigung dieser mengen Z darstellen und wir somit unsere partitionen hätten.
Welche Mengen denn?

Versuche doch mal heuristisch an die Sache heranzugehen, das heißt Du nimmst Dir einfach ein paar konkrete Zahlen (z.B. die Zahlen von 0 bis 10) und schaust welche davon in liegen. Dann solltest Du nämlich erkennen können, was am Ende herauskommt und damit wird auch die Argumentation leichter.

Gruß,
Reksilat.
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