Probleme bei Integration (substitution)

20.04.2009, 15:16

HabNeFrage

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Probleme bei Integration (substitution)

Hallo,
rechne gerade die abituraufgaben der letzten Jahre nach, um mich vorzubereiten und hänge gerade an folgender Funktion:

$\begin{eqnarray*} <br /> f(x)=\frac{4x}{x^{2}+1} <br /> \end{eqnarray*}$

Davon brauche ich F(x) also muss ich die Funktion integrieren, aber da es ein Bruch ist weiß ich nicht genau wie. Im Internet gibts zwar auch die Lösungen zu den Abituraufgaben, aber ich verstehe nicht, wie man dahin kommt. Es steht lediglich der Hinweis "Substitution" daneben, habe dies auch in meinem Mathebuch gefunden, aber ehrlich gesagt verstehe ich diese Vorgehensweise nicht, und in den Beispielen finde ich nur Funktionen mit e und keine mit einem Bruch.

Wäre nett wenn mir jemand helfen könnte! Danke!

EDIT: Ups war ein Fehler drin sry!

20.04.2009, 15:24

klarsoweit

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RE: Probleme bei Integration (substitution)
Wieso schreibst du im Nenner 2+1 als Exponenten und nicht 3? verwirrt

verwirrt

Tipp: Vermeide Zeilenschaltungen im Latexcode.

20.04.2009, 16:35

Q-fLaDeN

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Man kann die Funktion mit Hilfe folgender Regel integrieren:

$\begin{eqnarray*} \int~\frac{f'(x)}{f(x)}~\dd x = \ln |f(x)|+C \end{eqnarray*}$

Wenn ihr das mittels Substitution lösen sollt, dann substituieren $\begin{eqnarray*} u = x^2+1 \end{eqnarray*}$

20.04.2009, 16:54

HabNeFrage

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das problem ist nur, dass 4x nicht die ableitung von x²+1 ist, genau das ist nämlich mein problem, das ich oft bei dieser substitution habe, und sonst geht es doch nicht oder?

20.04.2009, 16:59

Q-fLaDeN

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Doch klar geht das.

Es ist $\begin{eqnarray*} \int~\frac{4x}{x^{2}+1}~\dd x = 2 \int~\frac{2x}{x^{2}+1}~\dd x \end{eqnarray*}$

Wobei dieser Umformungsschritt nur dann notwendig ist, wenn du gleich die Regel anwendest. Bei der Substitutionsmethode ist der Schritt (noch) nicht unbedingt nötig.

20.04.2009, 17:13

HabNeFrage

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achso danke das hat mir schonmal sehr weitergeholfen!

aber dennoch komme ich nicht annähernd auf die vorgegebene lösung ..

ich habe jetzt:
$\begin{eqnarray*} <br /> 2\int_{0}^{\sqrt{3}}~\frac{2x}{x^{2}+1}~dx <br /> g(x)=x²+1=z<br /> g'(x)=2x<br /> f(z)=\frac{1}{z} \end{eqnarray*}$

Neue Grenzen:
$\begin{eqnarray*} g(0)=1<br /> g(\sqrt{3})=4 \end{eqnarray*}$

Somit:
$\begin{eqnarray*} 2\int_{1}^{4}~\frac{1}{x^{2}+1}*2x~dx<br /> 2\int_{1}^{4}~\frac{1}{z}~dz<br /> 2\int_{1}^{4}~\frac{1}{x²+1}~dz \end{eqnarray*}$

(die Grenzen hab ich der aufgabe entnommen)

EDIT:
So, habs verbessert, nur jetzt bin ich ja beim aufleiten, wie komme ich da weiter? Gesucht ist ja diese Form:

$\begin{eqnarray*} [F(x)]_{1}^4 \end{eqnarray*}$

EDIT: Bandwurm Latexcode entzerrt (klarsoweit)

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20.04.2009, 17:34

Cordovan

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Die Grenzen hast du nicht richtig bestimmt, ansonsten sieht es gut aus.

Wieso ist g(0)=0? Das rechne nochmal nach.

Cordovan

20.04.2009, 18:19

HabNeFrage

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hat jemand vll nen tip für mich?

20.04.2009, 18:22

Cordovan

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Du willst bestimmen

$\begin{eqnarray*} 2\int_1^4\frac1z\dd z \end{eqnarray*}$ .

Kannst du das nicht lösen? Du brauchst eine Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} \frac1z \end{eqnarray*}$ .

Cordovan

20.04.2009, 18:39

HabNeFrage

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das ist ja einfach z^-1
aber integriert wäre es ja dann z^0 oder nicht? weil man ja beim ableiten den exponenten minus 1 nimmt, und wie sonst sollte man auf -1 kommen?

20.04.2009, 18:47

derkoch

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Zitat:

Original von HabNeFrage
das ist ja einfach z^-1
aber integriert wäre es ja dann z^0 oder nicht? weil man ja beim ableiten den exponenten minus 1 nimmt, und wie sonst sollte man auf -1 kommen?

Schaue dir nochmal die Ableitungen von ln(x) an!!

20.04.2009, 18:54

HabNeFrage

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achso diese regel kannte ich nicht Freude

Freude

also in meiner formelsammlung steht, dass $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} => ln\mid x \mid + c \end{eqnarray*}$
aber was ist c?

Ansonsten weiß ich dann wie es geht, danke schonmal soweit!!

20.04.2009, 19:21

currie

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Zitat:

Original von HabNeFrage
achso diese regel kannte ich nicht Freude

Freude

also in meiner formelsammlung steht, dass $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} => ln\mid x \mid + c \end{eqnarray*}$
aber was ist c?

Ansonsten weiß ich dann wie es geht, danke schonmal soweit!!

Erstmal ist es: $\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{x}\,\mathrm dt = \ln|x| + C \end{eqnarray*}$

Und $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ ist die Konstante.

20.04.2009, 19:26

currie

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Zitat:

Original von currie

Zitat:

Original von HabNeFrage
achso diese regel kannte ich nicht Freude

Freude

also in meiner formelsammlung steht, dass $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} => ln\mid x \mid + c \end{eqnarray*}$
aber was ist c?

Ansonsten weiß ich dann wie es geht, danke schonmal soweit!!

Erstmal ist es: $\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{x}\,\mathrm dt = \ln|x| + C \end{eqnarray*}$

Und $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ ist die Konstante.

Sorry, natürlich soll es heißen: $\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{x}\,\mathrm dx = \ln|x| + C \end{eqnarray*}$

20.04.2009, 19:31

HabNeFrage

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aber etwas anderes habe ich doch gar nicht geschrieben außer dass das c klein ist und so werden nach meinem wissen konstanten auch geschrieben

nur wie komme ich auf diese konstante?

20.04.2009, 20:05

currie

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Zitat:

Original von HabNeFrage
aber etwas anderes habe ich doch gar nicht geschrieben außer dass das c klein ist und so werden nach meinem wissen konstanten auch geschrieben

nur wie komme ich auf diese konstante?

$\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ nennt sich additive Konstante. Diese wird bei unbestimmten Integralen addiert, weil es unendlich viele Stammfunktionen gibt - der Unterschied macht eben die Konstante aus.

$\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{x}\,\mathrm dx = \ln|x| \end{eqnarray*}$ ist nur eine Lösung, nämlich mit $\begin{eqnarray*} C = 0 \end{eqnarray*}$

Klar?

20.04.2009, 20:07

HabNeFrage

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ja das denke ich mir auch aber in den offiziellen lösung ist folgendes angegeben:

F(x) = 2 ln(x² +1) – 1/2 x²

den ersten teil kann ich bestätigen, aber auf die – 1/2 x² komme ich nicht und das müsste ja dann dieses C sein ...

20.04.2009, 20:13

currie

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Zitat:

Original von HabNeFrage
ja das denke ich mir auch aber in den offiziellen lösung ist folgendes angegeben:

F(x) = 2 ln(x² +1) – 1/2 x²

den ersten teil kann ich bestätigen, aber auf die – 1/2 x² komme ich nicht und das müsste ja dann dieses C sein ...

Nein, denn $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}x^2 \end{eqnarray*}$ ist nicht konstant.

Kannst du mal bitte die gesammte Aufgabenstellung posten.

20.04.2009, 20:16

HabNeFrage

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das ist de aufgabe:
http://www.standardsicherung.nrw.de/abit...le.php?file=912

21.04.2009, 09:21

klarsoweit

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Zitat:

Original von HabNeFrage
ja das denke ich mir auch aber in den offiziellen lösung ist folgendes angegeben:

F(x) = 2 ln(x² +1) – 1/2 x²

den ersten teil kann ich bestätigen, aber auf die – 1/2 x² komme ich nicht und das müsste ja dann dieses C sein ...

Bei der Aufgabe geht es nicht um die Bestimmung der Menge aller möglichen Stammfunktionen, sondern um die Berechnung eines bestimmten Integrals, mit dem die von 2 Funktionen eingeschlossene Fläche bestimmt werden soll. Dazu braucht man nur irgendeine Stammfunktion, in die man die Grenzen des Integrals einsetzt, um damit den Wert des Integrals zu berechnen.

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