Nachweis beliebig häufiger Differenzierbarkeit

20.04.2009, 18:44	Max Simon	Auf diesen Beitrag antworten »
Nachweis beliebig häufiger Differenzierbarkeit Hallo, diesmal was prinzipielles: Wie weiße ich nach, dass eine Funktion beliebig oft differenzierbar ist? Genauer handelt es sich hier um die Funktion $\begin{eqnarray} f(x)=\frac{sin x}{x}, x \neq 0; f(0)=1 \end{eqnarray}$ . Also zunächst hab ich den Sinus durch seine Potenzreihe ersetzt. Feststellung: f ist differenzierbar. Um die n-ten Ableitungen zu bestimmen, hab ich mal die ersten 3 Ableitungen dieses Polynoms gebildet, daraus eine allgemeine, von n abhängige Reihe vermutet und deren Gültigkeit mittels vollständiger Induktion gezeigt. Also für jede n-te Ableitung gibt es eine (n+1)-te Ableitung. $\begin{eqnarray} f^{{(n)}}(0) = 0, n>0 \end{eqnarray}$ . Damit hab ich ja aber nicht gezeigt, dass f beliebig oft differenzierbar ist. Ich hab ja bereits gezeigt, dass $\begin{eqnarray} f(x) = f^{{(0)}}(x) \end{eqnarray}$ differenzierbar ist. Kann ich jetzt genau wie bei einer vollständigen Induktion vorgehen und sagen: Wenn $\begin{eqnarray} f^{{(n)}} \end{eqnarray}$ differenzierbar ist, dann ist auch $\begin{eqnarray} f^{{(n+1)}} \end{eqnarray}$ differenzierbar? Dazu müsste ich doch nur zeigen, dass meine n-te Ableitung, also die Reihe für $\begin{eqnarray} x \neq 0 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f^{{(n)}}(0) = 0 \end{eqnarray}$ , differenzierbar ist. Kann man das so machen oder geht das nicht auf die Art oder muss ich noch was anderes beachten? Dankeschön. MfG Max
20.04.2009, 18:56	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
So etwas kann man natürlich durch vollständige Induktion beweisen. Wenn du allerdings die Potenzreihe nutzen darfst, dann kannst du $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ auch einfach in eine solche entwickeln, zitieren, dass jede Potenzreihe unendlich oft differenzierbar ist und die Ableitung einfach ablesen.
20.04.2009, 19:15	Max Simon	Auf diesen Beitrag antworten »
Also da die Potenzreihe für sinx/x an der Stelle 0 den Wert 1 hat, brauch ich ja keine Fallunterscheidung mehr für f. Aber ist das nicht problematisch, dass ich einen Teil einer Funktion, welcher an einer Stelle nicht definiert ist, durch ein Polynom ersetze, welches dann auch an dieser Stelle definiert ist? Also kann ich eine solche Fallunterscheidung einfach weglassen, weil (durch Zufall) mit der Potenzreihe der gesamte Definitionsbereich abgedeckt wird? Ableitung ablesen geht auch nicht einfach so. Wir sollen die n-te Ableitung bestimmen. Deswegen ist die erste Induktion sicherlich nötig, aber die hab ich ja schon hinbekommen^^. Danke für die schnelle Antwort
20.04.2009, 21:18	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ist zwar abschnittsweise definiert, aber das liegt nur daran, dass der Bruch nicht definiert ist. Allerdings heißt das nicht, dass $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ deswegen schlechtere Eigenschaften hat als eine Funktion, die man durch einen Term auf dem ganzen Definitionsbereich beschreiben kann. Es ist halt $\begin{eqnarray} \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1 \end{eqnarray}$ . Und wegen der Definition von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ist die Potenzreihe auf ganz $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ gleich $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ . Ob $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ abschnittweise definiert ist oder nicht, ist dabei egal. Zum Ablesen: Für eine Potenzreihe $\begin{eqnarray} f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}~a_nx^n \end{eqnarray}$ mit Konvergenzradius $\begin{eqnarray} r>0 \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} f^{(n)}(0)=n!\cdot a_n \end{eqnarray}$ . Das bekommt man durch sukzessives Ableiten (d.h. tatsächlich durch vollständige Induktion).

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