Beweis - stammfunktionen

13.09.2006, 18:23

kingskid

Auf diesen Beitrag antworten »

Beweis - stammfunktionen

Hi!
Wie kann man beweisen, dass sich zwei Stammfunktionen einer Funktion nur um eine Konstante unterscheiden, also dass
F(x) = G(x) + c ist?

dachte irgendwie an den mittelwertsatz, aber wie das genau funktioniert ist mir nicht klar...

viele grüße

13.09.2006, 18:42

MrPSI

Auf diesen Beitrag antworten »

Leite doch mal deine Gleichung ab. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ansonsten findest du bei Mathe-online einen Beweis.

13.09.2006, 18:42

Frooke

Auf diesen Beitrag antworten »

Vermutlich versteh ich Dich falsch, aber definitionsgemäß ist ja

$\begin{eqnarray*} F'(x)=f(x) \end{eqnarray*}$

und wegen

$\begin{eqnarray*} c'=0\Rightarrow (F(x)+c)'=F'(x) \end{eqnarray*}$

EDIT: Um Sekunden zu spät.

13.09.2006, 19:51

JochenX

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Frooke
$\begin{eqnarray*} F'(x)=f(x) \end{eqnarray*}$

und wegen

$\begin{eqnarray*} c'=0 \Rightarrow (F(x)+c)'=F'(x) \end{eqnarray*}$

ja, das reicht tatsächlich nicht - damit zeigst du: ist F Stammfkt, dann auch F+c.

Allerdings zeigst du noch nicht, dass eine weitere Stammfunktion von der Bauart F+c sein muss.

Den Schritt schafft man dann mit Ableiten der Differenzenfunktion auch gerade noch.

13.09.2006, 22:08

Frooke

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, da war ich zu ungenau. Tut mir leid. unglücklich

unglücklich

13.09.2006, 23:37

kingskid

Auf diesen Beitrag antworten »

hi!
danke für den link, is ne coole seite hab nur den beweis nicht gefunden...??

wie meinst du das mit ableiten der differenzenfunktion @loed??

viele grüße

Anzeige

13.09.2006, 23:56

Ben Sisko

Auf diesen Beitrag antworten »

Mit "Differenzenfunktion" meint er die Differenz der zwei Stammfunktionen.

Also:"Sei F eine Stammfunktion. Nimm an, G ist eine weitere Stammfunktion,..."

14.09.2006, 00:47

kingskid

Auf diesen Beitrag antworten »

d.h. so:

F(x) - G(x) = c ???

und dann??

14.09.2006, 00:49

Ben Sisko

Auf diesen Beitrag antworten »

Ne, erstmal nur F(x)-G(x). Das dann ableiten, was kommt raus?

14.09.2006, 08:38

kingskid

Auf diesen Beitrag antworten »

hmm, meinst du ich soll das mit diesem grenzwert ableiten?

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \end{eqnarray*}$

und da für f(x) F(x)-G(x) irgendwie einsetzen??

14.09.2006, 08:42

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. Du sollst die Funktion H(x) := F(x)-G(x) ableiten. Was kommt da raus?

14.09.2006, 09:45

kingskid

Auf diesen Beitrag antworten »

sorry, irgendwie check ich das grad nicht... mit was und wie soll ich das machen??

14.09.2006, 09:56

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Also das ganze nochmal von vorn:
Zu einer Funktion f hast du eine Stammfunktion F(x) und noch eine weitere Stammfunktion G(x). Jetzt bilden wir die Funktion H(x) := F(x) - G(x). Wie sieht dann die Ableitung H'(x) aus?

14.09.2006, 12:34

Frooke

Auf diesen Beitrag antworten »

Übrigens findet man den Beweis, indem man rechts auf «Beweis» klickt smile

smile

...

14.09.2006, 16:45

kingskid

Auf diesen Beitrag antworten »

achsoo, das ist einfach

H'(x) = F'(x) - G'(x) = f(x) - f(x) = 0

d.h. H(x) muss eine Konstante sein...?
also H(x) = F(x) - G(x) = c, unterscheiden sich also um c.

aber wozu braucht man dann den mittelwertsatz??

14.09.2006, 18:39

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Den braucht man für den Beweis, daß H(x) eine Konstante c.

Beachte: daß die Ableitung einer Konstanten Null ergibt, ist klar.
Aus der Tatsache, daß die Ableitung einer Funktion immer Null ist, muß nicht zwangsläufig folgen, daß die uresprüngliche Funktion eine Konstante war.

14.09.2006, 19:58

MrPSI

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Beachte: daß die Ableitung einer Konstanten Null ergibt, ist klar.
Aus der Tatsache, daß die Ableitung einer Funktion immer Null ist, muß nicht zwangsläufig folgen, daß die uresprüngliche Funktion eine Konstante war.

Kannst du bitte dazu mal ein Beispiel geben .... verwirrt

verwirrt

14.09.2006, 20:04

kingskid

Auf diesen Beitrag antworten »

@klarsoweit: danke für die erklärung, aber wie setzt man den mittelwertsatz dann konkret ein?

ich mein der sagt doch, dass wenn f stetig diffbar ist auf Intervall[a,b] dann existiert ein c aus [a,b] mit

$\begin{eqnarray*} f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \end{eqnarray*}$ oder?

wie kann ich damit zeigen dass H(x) eine Konstante sein muss?

und ja, so ein bsp würde mich auch interessieren, was für nicht konstante funktionen gibt es deren ableitung 0 ist?

viele grüße

15.09.2006, 08:19

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von kingskid
ich mein der sagt doch, dass wenn f stetig diffbar ist auf Intervall[a,b] dann existiert ein c aus [a,b] mit

$\begin{eqnarray*} f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \end{eqnarray*}$ oder?

wie kann ich damit zeigen dass H(x) eine Konstante sein muss?

Angenommen die Funktion H wäre nicht konstant. Dann wähle man die Punkte a und b so, daß H(a) <> H(b). Und damit gibt es ein c mit H'(c) <> 0.

Zitat:

Original von MrPSI
Kannst du bitte dazu mal ein Beispiel geben .... verwirrt

verwirrt

Kann ich natürlich nicht. Es wird ja gerade bewiesen, daß die Funktion eine Konstante sein muß. Was ich sagen wollte, ist folgendes:

In der Aussage $\begin{eqnarray*} f(x) = c \Rightarrow f'(x) = 0 \end{eqnarray*}$
darf man nicht einfach den Pfeil umdrehen, nur weil man kein passendes Gegenbeispiel findet. Das sollte schon ordentlich bewiesen werden. Augenzwinkern

Augenzwinkern

15.09.2006, 13:47

irre.flexiv

Auf diesen Beitrag antworten »

Man kann es auch direkt beweisen. Ist $\begin{eqnarray*} H'(x) = 0 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} I. \end{eqnarray*}$

Nun wähle man $\begin{eqnarray*} a,b \in I \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a\not = b \end{eqnarray*}$ . Dann gilt auf $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} [b,a] \end{eqnarray*}$ der Mittelwertsatz

$\begin{eqnarray*} H(a)-H(b) = H'(\xi)(a-b) = 0 \quad\Rightarrow\quad H(a) = H(b) \end{eqnarray*}$

15.09.2006, 19:22

kingskid

Auf diesen Beitrag antworten »

okay, dankeschön für eure erklärungen smile

smile

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »