Norm	Neue Frage »

20.04.2009, 23:13

Sabinee

Norm

Es geht um folgende Aufgabe:

Für eine lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} F: \mathbb R^n \mapsto \mathbb R^k \end{eqnarray*}$ sei
$\begin{eqnarray*} ||F||_0:=\inf \{C>0: ||F(x)||\leq C\cdot ||x|| \ \text{für alle} \ x\in \mathbb R^n\} \end{eqnarray*}$

Zeigen Sie:
a) $\begin{eqnarray*} ||...||_0 \end{eqnarray*}$ ist eine Norm auf dem Raum $\begin{eqnarray*} L(\mathbb R^n, \mathbb R^k) \end{eqnarray*}$ der linearen Abbildungen von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mathbb R^k \end{eqnarray*}$

Was muss ich machen?
Ich muss doch jetzt die Normaxiome nachweisen oder?
Ich will zeigen dass $\begin{eqnarray*} ||C||=0 \Leftrightarrow x=0 \end{eqnarray*}$ ist, aber ich weiß nicht wie.
Kann mir jemand ne Starthilfe geben?
Danke

21.04.2009, 08:38

Dual Space

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Norm

Zitat:

Original von Sabinee
Ich muss doch jetzt die Normaxiome nachweisen oder?

Richtig.

Zitat:

Ich will zeigen dass $\begin{eqnarray*} ||C||=0 \Leftrightarrow x=0 \end{eqnarray*}$ ist, aber ich weiß nicht wie.

Warum willst du das zeigen? Vermutlich willst du zeigen, dass

$\begin{eqnarray*} \|F\|_0=0 \Leftrightarrow F=0 \end{eqnarray*}$

gilt, oder?

21.04.2009, 11:36

Sabinee

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Norm
Ja stimmt, die Norm um die es geht ist $\begin{eqnarray*} ||F||_0 \end{eqnarray*}$ .

Aber wie zeige ich das denn jetzt.

Sei $\begin{eqnarray*} ||F||_0=0 \end{eqnarray*}$ wieso folgt jetzt dadraus, dass $\begin{eqnarray*} F=0 \end{eqnarray*}$ ist?
Ich glaube ich komme mit der Infimumsmenge nicht ganz klar.
Es geht ja um das $\begin{eqnarray*} C>0 \end{eqnarray*}$ , also sind die Elemente der Menge die C's.
Aber wie ich daraus folgere dass $\begin{eqnarray*} F=0 \end{eqnarray*}$ ist weiß ich leider nicht. verwirrt

21.04.2009, 12:32

Dual Space

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Norm
Sei also $\begin{eqnarray*} \|F\|_0=0 \end{eqnarray*}$ . D.h.

für jede positive Zahl $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ gilt

$\begin{eqnarray*} \|F(x)\|\leq \varepsilon \cdot\|x\| \end{eqnarray*}$

und zwar für alle $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ .

Sei nun $\begin{eqnarray*} x\not= 0 \end{eqnarray*}$ , dann

$\begin{eqnarray*} \frac{\|F(x)\|}{\|x\|}\leq \varepsilon \end{eqnarray*}$

und du kannst auf der linken Seite zum Supremum über alle $\begin{eqnarray*} x\not=0 \end{eqnarray*}$ übergehen.

21.04.2009, 12:41

Sabinee

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Norm

Zitat:

Original von Dual Space

und du kannst auf der linken Seite zum Supremum über alle $\begin{eqnarray*} x\not=0 \end{eqnarray*}$ übergehen.

Zum Supremum oder Infimum?

Ja da $\begin{eqnarray*} \frac{||F(x)||}{||x||}\leq \epsilon \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ gilt und $\begin{eqnarray*} x\neq 0 \end{eqnarray*}$ ist, muss doch $\begin{eqnarray*} F=0 \end{eqnarray*}$ sein oder?

21.04.2009, 14:47

Dual Space

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Norm

Zitat:

Original von Sabinee
Zum Supremum oder Infimum?

Kannst beides machen, aber nur eines bringt dich ans Ziel. Augenzwinkern

Zitat:

Original von Sabinee
Ja da $\begin{eqnarray*} \frac{||F(x)||}{||x||}\leq \epsilon \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ gilt und $\begin{eqnarray*} x\neq 0 \end{eqnarray*}$ ist, muss doch $\begin{eqnarray*} F=0 \end{eqnarray*}$ sein oder?

Da fehlt mir die Begründung.

Neue Frage »

Antworten »

Norm

Verwandte Themen