Konvergenzbereich, Grenzfunktion, gleichmäßige Konvergenz

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20.04.2009, 23:41	Phantom-Lord	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenzbereich, Grenzfunktion, gleichmäßige Konvergenz Hallo, heute wieder eine Potenzreihe. Folgende Reihe ist gegeben: $\begin{eqnarray} f_{n}(x):=\sum_{n=0}^\infty ~(x^2-x) \cdot (1+x)^n \end{eqnarray}$ Gesucht wird der Konvergenzbereich, die Grenzfunktion und die gleichmäßige Konvergenz. Grenzfkt. und Konvergenzbereich konnte ich bereits wie folgt zeigen (bitte um Kontrolle): $\begin{eqnarray} f_{n}(x):=(x^2-x) \cdot \sum_{n=0}^\infty ~ (1+x)^n \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g_{n}(x):=\sum_{n=0}^\infty ~ (1+x)^n = geom.\ Reihe \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} q = (x+1) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mid x+1\mid < 1 \Leftrightarrow \mid x - (-1) \mid < 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x \in (-2,0) \end{eqnarray}$ Grenzfkt.: $\begin{eqnarray} f(x):=(x^2-x) \cdot \frac{1}{1-(x+1)} = \frac{x^2-x}{-x} = \frac{x-x^2}{x} = \frac{x(1-x)}{x}=1-x \end{eqnarray}$ Nur mit der gleichmäßigen Konvergenz komme ich nicht zurecht. Ich muss ein kompaktes Intervall des Konvergenzbereichs $\begin{eqnarray} (a,b) \end{eqnarray}$ finden, auf welchem die Konvergenz gleichmäßig ist. Wie finde ich dieses Intervall? gleichmäßige Konvergenz ist doch $\begin{eqnarray} \mid f_{n}(x) - f(x) \mid < \epsilon \end{eqnarray*}$ Ich bin für jede Hilfe dankbar. mfg Phantom-Lord
21.04.2009, 21:07	Phantom-Lord	Auf diesen Beitrag antworten »
Habe ein bisschen mit der gleichmäßigen Konvergenz gespielt. Kann mir jemand sagen, ob ich diese richtig gezeigt habe. Danke. $\begin{eqnarray} <br /> &&\lim_{k \rightarrow \infty} \\| f_{k}-f \\| = 0<br /> <br /> &&f_{k}(x)-f(x) = \sum_{n=0}^k~(x^2-x) \cdot (1+x)^n - \sum_{n=0}^\infty ~(x^2-x) \cdot (1+x)^n =<br /> <br /> && - \sum_{n=k+1}^\infty ~(x^2-x) \cdot (1+x)^n = -(x^2-x) \cdot \sum_{n=k+1}^\infty ~(1+x)^n =<br /> <br /> && (x-x^2) \cdot \sum_{n=k+1}^\infty ~(1+x)^n<br /> <br /> &&<br /> <br /> && \left\| x^2 -x \right\| \leq 6<br /> <br /> && lim_{k \rightarrow \infty} ~ sup ~\left\| (x^2-x) \cdot \sum_{n=k+1}^\infty ~(1+x)^n \right\| \leq 6 \cdot lim_{k \rightarrow \infty} ~ sup ~ \left\| \sum_{n=k+1}^\infty ~(1+x)^n \right\| \leq 0<br /> \end{eqnarray}$ D.h.: Auf jedem abgeschlossenen und beschränkten Intervall in $\begin{eqnarray} (-2,0) \end{eqnarray}$ konvergiert die Funktionenreihe gleichmäßig.
21.04.2009, 22:34	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Die letzte Ungleichung fällt irgendwie vom Himmel. Auf jeder kompakten Teilmenge des Konvergenzintervalls ist die Reihe gleichmäßig konvergent, da $\begin{eqnarray} x^2-x \end{eqnarray}$ beschränkt ist und der Rest eine Potenzreihe ist. Das bekommt man so: Jede kompakte Teilmenge des Konvergenzintervalls ist in einem Intervall der Form $\begin{eqnarray} [-1-R,-1+R] \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} 0<R<1 \end{eqnarray}$ enthalten. Dann folgt $\begin{eqnarray} \|f_k(x)-f(x)\|\leq\ldots\leq 6\sum_{n=k+1}^{\infty}~R^n \end{eqnarray}$ und letzteres geht gegen Null.
21.04.2009, 22:53	Phantom-Lord	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Hilfe. Meine letzte Ungleichung ist falsch. Da das Supremum der Reihe 0 ist, müsste das dann doch wie folgt aussehen. $\begin{eqnarray} 6 \cdot lim_{k \rightarrow \infty} ~ sup_{x \in Konvergenzbereich} ~ \underbrace{ \left\| \sum_{n=k+1}^\infty ~(1+x)^n \right\| }_{\text{geht gegen 0}} = 0 \end{eqnarray}$
22.04.2009, 18:23	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Supremum welcher Reihe soll Null sein? Versuch doch, alles vielleicht ein wenig geordneter hinzuschreiben und zu sagen, was du grad betrachtest und welche Folgerungen du woraus ziehst.
22.04.2009, 18:38	Phantom-Lord	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Definition von gleichmäßiger Konvergenz ist doch $\begin{eqnarray} \lim_{k \rightarrow \infty}~ \sup_{x \in D(f)} \left\| f_{k}(x)-f(x) \right\|=0 \end{eqnarray}$ . Das habe ich bei meiner Aufgaben angewendet.
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22.04.2009, 18:41	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst aber erst das Supremum anwenden. Bis jetzt sehe ich nur, dass du bei festem $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lim_{k\to\infty}\|f_k(x)-f(x)\|=0 \end{eqnarray}$ gezeigt hast.
22.04.2009, 23:40	Phantom-Lord	Auf diesen Beitrag antworten »
Habe noch einmal alles durchdacht und mit der Grenzfunktion gearbeitet: $\begin{eqnarray} <br /> <br /> && \lim_{k \rightarrow \infty} \sup_{x \in [a,b]} \left\| \frac{1-(1+x)^k}{1-(1+x)} - \frac{1}{1-(1+x)} \right\| = \lim_{k \rightarrow \infty} \sup_{x \in [a,b]} \left\| \frac{-(1+x)^k}{-x} \right\| =<br /> <br /> &&= \lim_{k \rightarrow \infty} \sup_{x \in [a,b]} \left\| \frac{(1+x)^k}{x} \right\| \leq<br /> \end{eqnarray}$ Nebenrechnung: $\begin{eqnarray} <br /> <br /> && x \in [a,b]<br /> <br /> && -2 < a \leq x \leq b < 0<br /> <br /> && -1 < a+1 \leq x+1 \leq b+1 < 1<br /> <br /> && m = max( \left\| a+1 \right\|, \left\| b+1 \right\|)<br /> <br /> && \left\| x+1 \right\| \leq m < 1<br /> <br /> && \left\| x+1 \right\|^k \leq m^k < 1<br /> <br /> &&<br /> <br /> && \left\| x \right\| > \left\| b \right\|<br /> <br /> && \frac{1}{\left\| x \right\|} < \frac{1}{\left\| b \right\|}<br /> \end{eqnarray}$ Hauptteil: $\begin{eqnarray} <br /> <br /> && \leq \lim_{k \rightarrow \infty} \sup_{x \in [a,b]} \left\| \frac{m^k}{x} \right\| \leq \lim_{k \rightarrow \infty} \underbrace{ \left\| \frac{m^k}{b} \right\|}_{\text{geht gegen 0}}=0<br /> \end{eqnarray}$
23.04.2009, 15:59	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist zwar etwas umständlich, aber (bis auf $\begin{eqnarray} \|x\|\leq \|b\| \end{eqnarray}$ anstelle von $\begin{eqnarray} \|x\|<\|b\| \end{eqnarray}$ !) richtig.

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