Unterbestimmtes Gleichungssystem; Parameter frei wählbar? |
| 21.04.2009, 01:24 | Jacques | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Unterbestimmtes Gleichungssystem; Parameter frei wählbar?
Kann bei einem linearen Gleichungssystem, das unterbestimmt ist und z. B. einen freien Parameter zulässt, jede der Variablen als Parameter festgelegt werden? Oder kommen nur bestimmte Variablen in Frage? Im Prinzip würde ich sagen: Jede Variable kann Parameter sein, denn wenn alle Variablen durch einen Parameter ausgedrückt werden können, dann kann man ja umgekehrt auch den Parameter durch eine Variable ausdrücken, die dann quasi den neuen Parameter bildet. Auf der anderen Seite hieße das, wenn ich es richtig sehe, dass bei linear abhängigen Vektoren jeder Vektor als Linearkombination der übrigen dargestellt werden kann. Denn bei linearer Abhängigkeit hat man ja ein unterbestimmtes lineares Gleichungssystem mit den Koeffizienten, dort legt man einfach den Faktor eines der Vektoren als Parameter fest und weist ihm einen von 0 verschiedenen Wert zu. Dann kann man diesen Vektor als Linearkombination der anderen schreiben. Bei Wikipedia heißt es aber ausdrücklich, dass bei linearer Abhängigkeit nicht jeder Vektor so dargestellt werden kann. |
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| 21.04.2009, 02:22 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Unterbestimmtes Gleichungssystem; Parameter frei wählbar?
Genau. Stellen wir uns Gauss vor, mit oberer Dreiecksmatrix, dann wird man (aus Gewohnheit) dem ersten freien Parameter der Rückwärtssubstitution den "normierten" Buchstaben geben. Jede Parameterabhängige Komponente können wir aber so umbenennen, dass sie bzgl. eines Buchstabens normiert ist.
LA, so wie ich es definiert kenne, sagt nur, dass man die Vektoren auch "nicht trivial" zum Nullvektor kombinieren kann. Es waren gegeben:
Es psricht nun nichts dagegen, als LK des Nullvektors [-2,1,0] zu nehmen. Es ist nicht vorgeschrieben, dass alle Koeffizienten von Nullverschieden sein müssen. Sie dürfen nur nicht alle 0 sein. Wir können also einfach ein paar unter den Tisch fallen lassen. Für das was du wissen möchtest, reicht der Begriff l.a. nicht aus. Nimm mal eine Matrix 4x4, die nicht vollen Rang hat. Die Spallten sind dann l.a. Dennoch haben wir für den Rang die Möglichkeiten (Nicht Nullmatrix) 1,2,3. Mehr fällt mir im Moment nicht mehr ein 
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| 21.04.2009, 03:04 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Unterbestimmtes Gleichungssystem; Parameter frei wählbar?
Ich denke, doch nicht! Beispiel: ----------------------------- y kann nicht durch einen Parameter ausgedrückt werden. Warum nicht? mY+ |
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| 21.04.2009, 11:31 | Jacques | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Danke für Eure Anworten. 
Ich wusste nicht, dass auch in einem unterbestimmten LGS noch einige Komponenten fest sein können:
Da für y nur 5.5 als Lösung in Frage kommt, oder? Nur entweder x oder y sind frei wählbar. Wenn ich es jetzt richtig verstehe: Bei linear abhängigen Vektoren ist das Koeffizienten-LGS zwar unterbestimmt, aber trotzdem kann der Koeffizient eines Vektors fest den Wert 0 haben, dieser Vektor ist dann nicht als Linearkombination der anderen darstellbar. Aber bei allen Faktoren, die parameterabhängig sind, also auch einen anderen Wert als 0 haben können, gilt dann das, was tigerbine gesagt hat:
Das passt ja dann auch zu dem Zusammenhang mit den Vektoren -- es kann nach jedem Vektor aufgelöst werden, dessen Koeffizient nicht 0 ist, wenn die Linearkombination aller Vektoren den Nullvektor ergibt.
Also wenn das so stimmt, was ich sage, dann ist mir alles klar. Vielen Dank.
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| 21.04.2009, 13:34 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Danke an mYthos für das Beispiel, auch wenn Jacques meinen Nachsatz richtig verstanden hat. Mein anfängliches "Genau" war natürlich nicht die passende Wortwahl. 
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