Energieerhaltung bei der Wellengleichung (1D)

21.04.2009, 13:28

Dunkit

Energieerhaltung bei der Wellengleichung (1D)

Hallo zusammen.
Ich habe hier eine Aufgabe (eigtl vom Numerik Übungsblatt), die aber mit partiellen DGLn zu tun hat, daher poste ich es mal hier in der Analysis...

Also es sei $\begin{eqnarray*} u(x,t) \in C^2(\mathbb{R} \times [0,\infty]) \end{eqnarray*}$ Lösung der 1d Wellengleichung

$\begin{eqnarray*} u_{tt}(x,t) - u_{xx}(x,t) = 0 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \times (0,\infty) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u(x,0) = u_0(x) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u_t (x,0) = u_1(x) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$
wobei u0 und u1 beliebig oft stetig diffbar und einen kompakten Träger haben.

Gegeben sind nun die Formeln für potentielle und kinetische Energie:

$\begin{eqnarray*} k(t) = 1/2 \int_{-\infty} ^{\infty} (u_t(x,t))^2 dx \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} p(t) = 1/2 \int_{-\infty} ^{\infty} (u_x(x,t))^2 dx \end{eqnarray*}$

Zu zeigen ist nun $\begin{eqnarray*} k(t) + p(t) \end{eqnarray*}$ ist konstant in t.

Ok, also physikalisch habe ich das verstanden: Die Summe von pot. und kin. Energie an einem Punkt ist konstant d.h. zu jedem Zeitpunkt t0 gleich. Aber wie ich jetzt diese Aufgabe angehen soll... Irgendwie muss ich ja nutzen, dass u die DGL löst, aber da kommen ja nur die 2. Ableitungen vor und nicht die ersten.

Wäre nett wenn mir jemand helfen kann. Allerdings nicht wundern, wenn ich erstmal nicht antworte, bin nachher noch in zwei Vorlesungen Augenzwinkern

Gruß,
Fabian

21.04.2009, 23:14

Abakus

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RE: Energieerhaltung bei der Wellengleichung (1D)

Zitat:

Original von Dunkit
Zu zeigen ist nun $\begin{eqnarray*} k(t) + p(t) \end{eqnarray*}$ ist konstant in t.

Kannst du das ableiten? Vielleicht ergibt sich dann ja was.

Grüße Abakus smile

22.04.2009, 08:52

Dunkit

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Ah, also die Idee finde ich echt gut =)

Optimaler Weise könnte ich das ja dann so umformen, dass da nurnoch $\begin{eqnarray*} u_{tt} - u_{xx} \end{eqnarray*}$ steht, womit das Problem gelöst wäre. Ableiten müsste ich ja nach $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ , daher sollte zumindest das $\begin{eqnarray*} u_{tt} \end{eqnarray*}$ ja mehr oder weniger von selbst auftauchen.

Dummerweise muss ich jetzt echt zugeben, dass ich mit der Ableitung ziemlich überfordert bin, denn integriert wird ja über $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ . Das verwirrt mich gerade ziemlich muss ich sagen

22.04.2009, 12:51

Abakus

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siehe hier: Leibniz'sche Regel

Grüße Abakus smile

22.04.2009, 17:41

Dunkit

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Hi!
Also danke auf jeden Fall mal fuer den Link Augenzwinkern

Allerdings: bezieht sich die Leibniz Regel nicht auf Integrale mit variablen Intervallen?
Ich konnte allerdings den Abschnitt davor nutzen und habe gefunden
$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dt}(k(t)+p(t))=\int_{-\infty} ^{\infty} u_t(x,t) u_{tt}(x,t) + u_x(x,t) u_{xt}(x,t) dx \end{eqnarray*}$
Das sieht schonmal nicht soo schlecht aus, aber so ganz zum ziel bringt es mich leider noch nicht =( mir fehlt irgendwie die Ableitung $\begin{eqnarray*} u_{xx} \end{eqnarray*}$

Oder kann ich vielleicht durch geschickte Wahl von Funtionen doch irgendwie etwas mit der Leibniz Regel anfangen, wo ich aber im Moment nicht drauf komme?

22.04.2009, 19:18

Abakus

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Soweit ok. Wenn die Leibniz'sche Regel Funktionen als Integrationsgrenzen zulässt, dann können diese als Spezialfall natürlich auch konstant sein.

Gerechnet habe ich das Integral selbst noch nicht, daher kann ich dir nur sagen, was ich nun alles ausprobieren würde:

Geschickt ist es immer, die Voraussetzungen zu benutzen, also könnte man $\begin{eqnarray*} u_{tt} = u_{xx} \end{eqnarray*}$ einsetzen. Danach bietet sich eine partielle Integration und Nutzung der Randbedingungen an.

Grüße Abakus smile

23.04.2009, 12:09

Dunkit

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Hallo

Genau das habe ich mit einem Mitstudenten heute vor der VL auch versucht, wir kamen aber leider nicht so richtig weit:

$\begin{eqnarray*} \int _{-\infty} ^\infty u_t(x,t) u_{tt}(x,t) dx + \int _{-\infty} ^\infty u_x (x,t) u_{xt} (x,t) dx \end{eqnarray*}$
ist mit partieller Integration
$\begin{eqnarray*} \int _{-\infty} ^\infty u_t(x,t) u_{tt}(x,t) dx + \left[u_x(x,t) u_t (x,t) \right] _{-\infty} ^\infty - \int _{-\infty} ^\infty u_{xx} (x,t) u_t (x,t) dx \end{eqnarray*}$
Wenn man jetzt die beiden Integrale zusammenfasst und dann $\begin{eqnarray*} u_t \end{eqnarray*}$ ausklammert bleibt nurnoch $\begin{eqnarray*} \left[u_x(x,t) u_t (x,t) \right] _{-\infty} ^\infty \end{eqnarray*}$ übrig. Das ist ja schonmal nicht schlecht, es wäre nun nurnoch zu zeigen $\begin{eqnarray*} \left[u_x(x,t) u_t (x,t) \right] _{-\infty} ^\infty =0 \end{eqnarray*}$ . Die Ranbedingungen sind hier denke ich der Schlüssel, ich kann mir aber noch nicht erklären, wie ich die benutzen soll?!

23.04.2009, 23:37

Abakus

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RE: Energieerhaltung bei der Wellengleichung (1D)

Zitat:

Original von Dunkit
Also es sei $\begin{eqnarray*} u(x,t) \in C^2(\mathbb{R} \times [0,\infty]) \end{eqnarray*}$ Lösung der 1d Wellengleichung

$\begin{eqnarray*} u_{tt}(x,t) - u_{xx}(x,t) = 0 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \times (0,\infty) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u(x,0) = v(x) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u_t (x,0) = w(x) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$
wobei v und w beliebig oft stetig diffbar und einen kompakten Träger haben.

Gegeben sind nun die Formeln für potentielle und kinetische Energie:

$\begin{eqnarray*} k(t) = 1/2 \int_{-\infty} ^{\infty} (u_t(x,t))^2 dx \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} p(t) = 1/2 \int_{-\infty} ^{\infty} (u_x(x,t))^2 dx \end{eqnarray*}$

Zu zeigen ist nun $\begin{eqnarray*} k(t) + p(t) \end{eqnarray*}$ ist konstant in t.

Ich habe mal $\begin{eqnarray*} u_0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u_1 \end{eqnarray*}$ hier in $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ umbenannt.

Der bisherige Weg scheint mir nicht so richtig weiter zu führen, daher ist es vielleicht eine Idee, über die konkrete Gestalt der Lösung zu gehen.

Das obige Problem besitzt eine eindeutige Lösung, und die sieht so aus:

$\begin{eqnarray*} u(x, t) = \frac 1 2 v(x + t) + \frac 1 2 v(x - t) + \frac 1 2 \int_{x-t}^{x+t} w(\xi) ~d\xi \end{eqnarray*}$

Ein Versuch wäre nun, zu versuchen, damit einfach nachzurechnen (auch wiederum durch einsetzen und ableiten).

Grüße Abakus smile

24.04.2009, 13:16

Dunkit

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Also ich musste die Aufgabe gestern leider einwerfen. Da ich auchnoch drei andere VL habe werde ich mich jetzt erstmal den anderen Übungsblättern zuwenden. Sobald ich aber die richtige Lösung kenne, werde ich sie hier kundtun, falls ich daran denke Augenzwinkern

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