Berechnung von Reihenwerten bei konvergenten Potenzreihen

21.04.2009, 19:09

deprimuck

Berechnung von Reihenwerten bei konvergenten Potenzreihen

Folgende Reihen sind gegeben:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty n^2 x^n \\ \sum_{n=1}^\infty n^3 x^n \\ \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n} \\ \textnormal{mit }|x| < 1 \end{eqnarray*}$

Die Konvergenz dieser Reihen kann man leicht nachweisen.
Nur wie berechnet man deren Werte?

Die Nähe zur geometrischen Reihe drängt sich ja förmlich auf. Kann man das ausnutzen? Durch Summenzerlegung?

21.04.2009, 20:37

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Berechnung von Reihenwerten bei konvergenten Potenzreihen

Zitat:

Original von deprimuck
Die Nähe zur geometrischen Reihe drängt sich ja förmlich auf. Kann man das ausnutzen? Durch Summenzerlegung?

Das kann man ausnutzen!
Durch Differenzieren bzw. Integrieren der geometrischen Reihe.

21.04.2009, 21:25

Romaxx

Auf diesen Beitrag antworten »

Insbesondere hier.

23.04.2009, 12:12

deprimuck

Auf diesen Beitrag antworten »

Die ersten beiden Reihen habe ich durch Differenzierung hingekriegt. Danke für den Tipp.

Die dritte macht mir noch Probleme (wie insg. die Integralrechnung):

$\begin{eqnarray*} \int \sum_{n=1}^\infty x^n = \int \frac{1}{1-x} \textnormal{ für } |x| < 1\\ \Rightarrow \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n+1} x^{n+1} = -log(1-x) + C \end{eqnarray*}$

Jetzt weiß ich nicht weiter. Bei den anderen beiden Reihen kam man durch nochmaliges Differenzieren auf den gewünschten Term. Nochmaliges Integrieren scheint mir hier aber kein Mittel zu sein verwirrt

23.04.2009, 12:14

Frank Xerox

Auf diesen Beitrag antworten »

Ganz elementar (also ohne Differential- und Integralrechnung und glm. Konv.) geht es mit dem Cauchy'schen Multiplikationssatz für unendliche Reihen (Cauchyprodukt).

23.04.2009, 13:58

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von deprimuck
Die ersten beiden Reihen habe ich durch Differenzierung hingekriegt. Danke für den Tipp.

Die dritte macht mir noch Probleme (wie insg. die Integralrechnung):

$\begin{eqnarray*} \int \sum_{n=1}^\infty x^n = \int \frac{1}{1-x} \textnormal{ für } |x| < 1\\ \Rightarrow \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n+1} x^{n+1} = -log(1-x) + C \end{eqnarray*}$

Jetzt weiß ich nicht weiter. Bei den anderen beiden Reihen kam man durch nochmaliges Differenzieren auf den gewünschten Term. Nochmaliges Integrieren scheint mir hier aber kein Mittel zu sein verwirrt

Die Verwendung des unbestimmten Integrals ist hier nicht zweckmäßig, weil dadurch eine willkürliche Konstante ins Spiel kommt, die man im Hinblick auf das Ziel hinterher wieder wegdiskutieren muss.

Man kann wie folgt vorgehen:

Sei

$\begin{eqnarray*} G(x)=:\sum_{n=0}^{\infty}~{x^n}=\frac{1}{1-x} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} IG(x)=:\int_{0}^{x}~G(y)~dy \end{eqnarray*}$

Dann hat man einerseits

$\begin{eqnarray*} IG(x)=\int_{0}^{x}~\sum_{n=0}^{\infty}~{y^n}~dy=\sum_{n=0}^{\infty}~\frac{{x^{n+1}}}{n+1}=\sum_{n=1}^{\infty}~\frac{{x^{n}}}{n} \end{eqnarray*}$

und andererseits

$\begin{eqnarray*} IG(x)=\int_{0}^{x}~\frac{1}{1-y}~dy=-\ln{(1-x)} \end{eqnarray*}$

Neue Frage »

Antworten »

Berechnung von Reihenwerten bei konvergenten Potenzreihen

Verwandte Themen