Untersuchen sie, ob folgenden Reihen konvergieren oder divergieren

22.04.2009, 14:24

zerosiris

Untersuchen sie, ob folgenden Reihen konvergieren oder divergieren

ich soll reihen untersuchen:
$\begin{eqnarray*} \sum_{v=1}^\infty ~\frac{1}{v*2^v} \end{eqnarray*}$
die erste habe ich mit dem Quotientenkriterium gelöst und umgeformt komm ich am ende auf

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2+\frac{1}{v}} \end{eqnarray*}$
und für v gegen unendlich kommt 1/2 raus. => die reihe konvergiert

doch dann hörts schon auf. wir arbeiten primär mit dem quotientenkriterium, dem majoranten- und Wurzelkriterium.
die nächste aufgabe ist:

$\begin{eqnarray*} \sum_{v=1}^\infty~\frac{2^{3v}}{(2v)!} \end{eqnarray*}$

woher erkenne ich hier welches kriterium ich anwenden soll? und wo finde ich eine liste mit "standardreihen" die ich für den vergleich mit dem majorantenkriterium benötige?

22.04.2009, 14:34

Duedi

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Hier würde sich eindeutig Quotientenkriterium anbieten (Fakultäten und Potenzen, die sich wegkürzen)

22.04.2009, 14:47

zerosiris

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ok dann komm ich auf das hier:

$\begin{eqnarray*} \sum_{v=1}^\infty~\frac{2^{3(v+1)}*(2v)!}{((2(v+1))!*2^{3v}} \end{eqnarray*}$

kann ich das dann einfach auf diesen ausdruck kürzen?

$\begin{eqnarray*} \sum_{v=1}^\infty~\frac{2^{(v+1)}*(2v)}{(2(v+1)*2^{v}} \end{eqnarray*}$

und dann:

$\begin{eqnarray*} \sum_{v=1}^\infty~\frac{1^{(v+1)}}{1^{v}} \end{eqnarray*}$

22.04.2009, 14:51

Duedi

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nenene

$\begin{eqnarray*} \frac{2^{3(k+1)}(2k)!}{2^{3k}(2(k+1))!} \end{eqnarray*}$

Jetzt multiplizier erstmal ordentlich (k+1) aus und forme nach gültigen Gesetzen um.

EDIT: sry, natürlich v statt k aber das ist ja irrelevant.

22.04.2009, 15:05

zerosiris

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oh ja, hab mir nochmal die potenzregeln angeschaut... smile

$\begin{eqnarray*} \sum_{v=1}^\infty~\frac{2^{3v}*2^3*(2v)!}{(2v+2)!*2^{3v}} \end{eqnarray*}$

so $\begin{eqnarray*} 2^{3v} \end{eqnarray*}$ fliegt schonmal raus

aber ist $\begin{eqnarray*} (2v+2)! = (2v)! * 2! \end{eqnarray*}$ ?

22.04.2009, 15:09

Duedi

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@ letzteres: nein

22.04.2009, 15:14

zerosiris

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$\begin{eqnarray*} \sum_{v=1}^\infty~\frac{8(2v)!}{(2v+2)!} \end{eqnarray*}$

aber die fakultät kürzt sich weg oder wie?

$\begin{eqnarray*} \sum_{v=1}^\infty~\frac{8(2v)}{(2v+2)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{v=1}^\infty~\frac{8v}{(v+1)} \end{eqnarray*}$

22.04.2009, 15:15

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@zerosiris

Lass doch bitte mal bei Untersuchungen des Reihengliederquotienten $\begin{eqnarray*} \frac{a_{v+1}}{a_v} \end{eqnarray*}$ das Reihensymbol $\begin{eqnarray*} \sum_{v=1}^{\infty} \end{eqnarray*}$ davor weg - das hat da nicht das geringste zu suchen! Strenge Korrektoren könnten es dir sogar negativ ankreiden...

22.04.2009, 15:15

Duedi

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"Fakultät" ist kein konstanter Faktor, sondern eine Rechenoperation. Genausowenig kannst du bei $\begin{eqnarray*} \frac{2^x}{3^x} \end{eqnarray*}$ das x wegkürzen, sodass du $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ erhältst. Mach dir nochmal klar, wie $\begin{eqnarray*} (2k+2)! \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (2k)! \end{eqnarray*}$ aussehen.

22.04.2009, 15:23

zerosiris

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@Arthur Dent ok sorry merk ich mir.

@Duedi

Zitat:

Original von Duedi
Hier würde sich eindeutig Quotientenkriterium anbieten (Fakultäten und Potenzen, die sich wegkürzen)

hab dann wohl hier aufgehört nachzudenken, durch den vergleich mit $\begin{eqnarray*} a^x \end{eqnarray*}$ hab ichs aber verstanden smile

nur wie treffe ich jetzt eine aussage über die konvergenz bzw divergenz bei dem term

$\begin{eqnarray*} \frac{8(2v)!}{(2v+2)!} \end{eqnarray*}$ , wenn ich nicht weiter vereinfachen kann ?

22.04.2009, 15:26

Duedi

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$\begin{eqnarray*} &&(2\nu +2)! = (2\nu +2)\cdot(2\nu +1)\cdot(2\nu)\cdot(2\nu-1)\cdots \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (2\nu)! = (2\nu)\cdot(2\nu-1)\cdots \end{eqnarray*}$

22.04.2009, 15:34

zerosiris

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ahh!! ich bin so ein mathefisch Big Laugh

muss jetzt los
danke für deine Hilfe/Zeit Duedi!

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