Partialbruchzerlegung, Koeffizientenvergleich

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22.04.2009, 14:18	lagchr	Auf diesen Beitrag antworten »
Partialbruchzerlegung, Koeffizientenvergleich Hallo Zusammen, ich habe eine Partialbruchzerlegung einer rationalen Funktion zu lösen. Sorry wenn ich nicht alle Mathematischen Ausdrücke korrekt verwende Die Funktion sieht wie folgt aus: $\begin{eqnarray} f(x) =\frac{x+1}{(x+2)^2} \end{eqnarray}$ Danach habe ich eben den Partialbruch: $\begin{eqnarray} \frac{A}{x+2} + \frac{B}{(x+2)^2} \end{eqnarray}$ Danach bringe ich das ganze auf den gleichen Nenner und erhalte: $\begin{eqnarray} x + 1 = A (x+2) + B \end{eqnarray*}$ Sollte eigentlich soweit korrekt sein hoffe ich Nur jetzt weiss ich nicht weiter mit dem Koeffizientenvergleich, da fehlts mir einfach. Wie bekomme ich da jetzt die Werte A und B raus? Kann mir jemand den weiteren Schritt erklären? Mit Sicherheit ist die Aufgabe trivial, aber ich komm nicht weiter. Vielen Dank, lg Christoph
22.04.2009, 14:28	Rare676	Auf diesen Beitrag antworten »
multipliziere einfach mal die Klammer aus. dann sortiere die rechte Seite (nur die rechte Seite) nach ausdrücken mit x und ausdrücken ohne x.(das ist in diesem Fall nicht so schwer, nur schon mal für die Zukunft ) Welche Werte müssen A und B nun haben, damit sie mit der linken seite übereinstimmen?
22.04.2009, 14:29	Duedi	Auf diesen Beitrag antworten »
Auf der rechten Seite nach x und nach Zahlen ordnen, also: x+1 = Ax + (2A+B) Jetzt kucken, wie groß der Koeffizient vor dem x auf der linken Seite ist, das gleiche bei den reinen Zahlen machen.
22.04.2009, 14:53	lagchr	Auf diesen Beitrag antworten »
OK, Danke. Zum Verständnis: Kann ich für x einfach 0 annehmen oder welchen Wert nimmt man da? Weil dann nehme ich einfach mal für A = 0 und B = 1. Damit ergibt sich, wenn ich natürlich noch die Klammer ausmultipliziere und das jetzt mal wirklich "blöd" hinschreibe: $\begin{eqnarray} x + 1 = Ax+(2A+B) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0 + 1 = 00 + (2+0 + 1) \end{eqnarray}$ ergo 1 = 1? Daher kann ich annehmen das A = 0 ist und B = 1 oder bin ich schon wieder falsch? Danke für eure Hilfe, lg
22.04.2009, 14:56	Duedi	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, x ist unveränderlich. Noch ein Tipp: Links steht "1 mal x" rechts steht "A mal x".
22.04.2009, 15:07	lagchr	Auf diesen Beitrag antworten »
OK ich hoffe jetzt habe ich verstanden. Wenn ich jetzt A=1 und B=-1 nehme komme ich auf folgendes, wenn ich das wieder im Detail anschreibe: $\begin{eqnarray} x+1 = Ax + (2A+B) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x+1 = x + (2 - 1) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x+1 = x + 1 \end{eqnarray}$ Ist das jetzt richtig so?
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22.04.2009, 15:16	Duedi	Auf diesen Beitrag antworten »
jap
22.04.2009, 15:21	lagchr	Auf diesen Beitrag antworten »
Super danke für eure Hilfe Aber jetzt muss ich noch was nachfragen. Immer nur durch erraten werde ich da auch nicht weiterkommen. Berechnen kann ich das sicherlich ja auch noch irgendwie oder?
22.04.2009, 15:26	Duedi	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast zwei Bedingungen: $\begin{eqnarray} 1 = A \end{eqnarray}$ (die x-Bedingung) $\begin{eqnarray} 1 = 2A + B \end{eqnarray}$ (die Bedingung für reine Zahlen) Ein lineares Gleichungssystem, das es zu lösen gilt (in dem Fall ganz einfach)
22.04.2009, 15:57	lagchr	Auf diesen Beitrag antworten »
OK, soweit verstehe ich dieses Beispiel jetzt auch. Jetzt habe ich noch ein Beispiel vor mir: $\begin{eqnarray} f(x) = \frac{1}{x^4-1} \end{eqnarray}$ Mein Partialbruch sieht ja dann wie folgt aus, obwohl ich mir da jetzt auch nicht ganz sicher bin: $\begin{eqnarray} \frac{A}{x^4-1} \end{eqnarray}$ Daher: $\begin{eqnarray} 1 = A x^4-1 \end{eqnarray}$ oder sieht der Partialbruch dann wie folgt aus, was ich aber noch weniger glaube: $\begin{eqnarray} \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x^2-1} + \frac{C}{x^3-1} + \frac{D}{x^4-1} \end{eqnarray*}$ Der nächste Schritt wäre dann ja wieder die Lösung des linearen Gleichungssystems oder? Danke für eure Hilfe, ich werde sie sicher noch öfters benötigen
22.04.2009, 16:04	Duedi	Auf diesen Beitrag antworten »
Leider weder das Eine noch das Andere. Du musst erstmal die Linearfaktoren von $\begin{eqnarray} x^4-1 \end{eqnarray}$ finden.
23.04.2009, 16:53	lagchr	Auf diesen Beitrag antworten »
Super, danke wiedermal für den Tipp. Hab meine Linearfaktoren gefunden, dass sieht wie folgt aus: $\begin{eqnarray} (x^4 - 1) = (x-1) (x+1) * (x^2 + 1) \end{eqnarray}$ Daher sieht der Partialbruch so aus: $\begin{eqnarray} 1 = \frac{A}{(x-1)} + \frac{B}{x+1} + \frac{Cx + D}{(x^2 +1)} \end{eqnarray}$ Das ganze auf gleichen Nenner gebracht und ausmultipliziert: $\begin{eqnarray} 1 = (Ax^3 + Ax^2 + Ax +A) + (Bx^3 - Bx^2) + (Cx^3+Dx^2-Cx-D) \end{eqnarray}$ Danach habe ich alles mit x auf eine Seite gebracht und alles mit nicht x (das ist ja nur A und D): $\begin{eqnarray} 1 = (Ax^3 + Ax^2 + Ax + Bx^3 - Bx^2 + Cx^3 + Dx^2 - Cx) + A - D \end{eqnarray}$ Dann konnte ich noch ein x herausheben: $\begin{eqnarray} 1 = x(Ax^2 + Ax + A + Bx^2 - Bx + Cx^2 + Dx - C) + A - D \end{eqnarray*}$ Stimmt das soweit noch? Ich nehme an, dass ich jetzt wieder dieses Gleichungssystem lösen könnte, wenn man wissen würde wie
23.04.2009, 16:55	Duedi	Auf diesen Beitrag antworten »
Diesmal nicht nach "x" und Zahlen sortieren, sondern nach "x^3", "x^2", "x" und Zahlen (macht 4 Bedingungen)
23.04.2009, 17:12	lagchr	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, dann hab ich also 4 Bedingungen für mein Gleichungssystem wenn ich das richtig verstehe: $\begin{eqnarray} 1=(Ax^3 + Bx^3 + Cx^3) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 1=(Ax^2 - Bx^2 + Dx^2) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 1=(Ax-Cx) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 1=(A-D) \end{eqnarray}$ Aber da hab ich beim Lösen Probleme, wie setz ich da jetzt was ein?
23.04.2009, 17:36	Duedi	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \frac{1}{x^4-1} = \frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}+\frac{Cx+D}{x^2+1} \end{eqnarray}$ Hier setze ich voraus, dass der nächste Schritt von dir korrekt durchgeführt wurde (gehe die Rechnung gleich nochmal durch) $\begin{eqnarray} 1=Ax^3+Ax^2+Ax+A+Bx^3-Bx^2+Cx^3+Dx^2-Cx-D \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0=x^3(A+B+C) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0=x^2(A-B+D) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0=x(A-C) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 1=A-D \end{eqnarray}$ EDIT: Du hast tatsächlich einen Fehler gemacht, überprüf doch bitte nochmal deine Rechnung
23.04.2009, 18:12	lagchr	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist ja eine schwere Geburt, sorry. Hab den Fehler schon entdeckt, der sich beim ausmultiplizieren versteckt hat, danke für den Hinweis. Dann sieht das Gleichungssystem wie folgt aus, hoffe ich zumindest. Bin mir leider immer so unsicher bei der ganzen Sache und geh das lieber Schrittweise an: $\begin{eqnarray} 0 = x^3(A+B+C) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0=x^2(A-B+D) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0=x(A+B-C) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 1 = A-B-D \end{eqnarray}$
23.04.2009, 18:15	Duedi	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, jetzt ist es ja nur noch ein Gleichungssystem. $\begin{eqnarray} I:\quad A+B+C=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} II:\quad A-B+D = 0 \end{eqnarray}$ ...
23.04.2009, 18:41	lagchr	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah fein, die x kann ich wieder komplett ausser Acht lassen, das hat mich noch zusätzlich verwirrt. Habe mir jetzt mal online den Rechenweg zur Lösung der Gleichung anzeigen lassen und somit auch die Lösung bekommen (http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scrip...ungssysteme.htm) Habe mir den Rechenweg angesehen. Ist der immer so lange, geht das auch kürzer bzw. einfacher? Und vielen Dank nochmal für deine Hilfe!
23.04.2009, 20:49	Duedi	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gibt ein paar Tricks. Du kannst z. B. die Erste Gleichung minus die Dritte nehmen. Da fallen A und B weg und du hast einen Wert für C

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