Zahlentheorie- Beweis richtig?

13.09.2006, 19:21

sqrt4

Zahlentheorie- Beweis richtig?

Man finde alle Tirpel die der Gleichung
$\begin{eqnarray*} x^3 + 2y^3+5z^3=0 \end{eqnarray*}$

genügen. $\begin{eqnarray*} x,y,z \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$

Also eine Lösung sticht sofort ins Auge, nämlich

$\begin{eqnarray*} x=y=z=0 \end{eqnarray*}$

Das ist das einzige Tripel, weitere gibt es nicht.

Beweis:
Annahme: Es gibt ein weiteres Tripel.(oder mehrere)

Also ich hab erstmal nach einer passenden Restklasse (heißt das so ?)
gesucht.
Dabei bin ich auf 9 gestoßen.
Es gilt
$\begin{eqnarray*} n^3 \equiv 0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} mod \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} 9 \end{eqnarray*}$
oder
$\begin{eqnarray*} n^3 \equiv 1 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} mod \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} 9 \end{eqnarray*}$
oder
$\begin{eqnarray*} n^3 \equiv 8 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} mod \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} 9 \end{eqnarray*}$

Dann folgt eine lange Phase des durchprobierens aller möglichen Kombinationen der Reste.

Also z.B. prüft man ob es möglich ist, dass zwei Kubikzahlen den Rest 1 und eine den Rest 8 haben kann..
Das müsste dann durch 9 teilbar sein. (da auf der linken Seite der Gleichung eine Null steht)

Es funktioniert aber keine einziger Fall, außer
$\begin{eqnarray*} x \equiv y \equiv z \equiv 0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} mod \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} 9 \end{eqnarray*}$

z.B. ist $\begin{eqnarray*} x=9n+l \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} l \in {0,3,9} \end{eqnarray*}$

Daraus folgt:
$\begin{eqnarray*} x=3a \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y=3b \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z=3c \end{eqnarray*}$

Das setzt man in die Gleichung ein und erhält nach teilen durch $\begin{eqnarray*} 3^3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a^3+2b^3+5c^3=0 \end{eqnarray*}$

Da die Lösung x=y=z=0 ausgeschlossen wurde, ist min. eine der Zahlen
x,y,z ungleich null.
Wäre also (x,y,z) ein weiters Tripel mit der geforderten Eigenschaft, so wäre auch (a,b,c) ein weiteres Tripel.
Das geht aber nicht (unendlicher Abstieg)

13.09.2006, 19:43

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von sqrt4
Es funktioniert aber keine einziger Fall, außer
$\begin{eqnarray*} x \equiv y \equiv z \equiv 0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} mod \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} 9 \end{eqnarray*}$

Schreibfehler: Du meinst sicher $\begin{eqnarray*} x \equiv y \equiv z \equiv 0 \mod 3 \end{eqnarray*}$ , ansonsten keine Einwände. Hast du noch irgendeine Frage oder wolltest du nur deine Lösung präsentieren?

P.S.: LaTeX-Umgebungen sollte man nicht mitten in einer Formel dauernd ein- und ausschalten, sondern da beibehalten.

13.09.2006, 19:47

sqrt4

Auf diesen Beitrag antworten »

ah ja da hab ich mich verschrieben...
ich wollte statt x,y,z
x^3,y^3,z^3 schreiben

Fragen:
Nein keine, ich wollte nur wissen ob die Argumentation stimmt.
Aber das tut sie scheinbar Wink

Latex:
Das Problem ist nur, dass das dann so zusammengeklebt aussieht..
ach aber geht das nicht mit "\"

13.09.2006, 19:48

Auf diesen Beitrag antworten »

Du meinst bei \mod ? Ja, die LaTeX-Jungs denken an alles - Ok, an fast alles. Augenzwinkern

Neue Frage »

Antworten »

Zahlentheorie- Beweis richtig?

Verwandte Themen