Schwache und vage Konvergenz

22.04.2009, 18:19	Fletcher	Auf diesen Beitrag antworten »
Schwache und vage Konvergenz Guten Tag, es geht um folgendes Problem: 1. Sei $\begin{eqnarray} x_n \end{eqnarray}$ eine Folge reeller Zahlen mit $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} x_n=x\in \mathbb R \end{eqnarray}$ . Zeige $\begin{eqnarray} \delta_{x_n} \Rightarrow \delta_x \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n \to \infty \end{eqnarray}$ . Ich habe mir dazu die Defintion von der schwachen Konvergenz angesehen und find das so ziemlich schwer. Mir ist aber noch eingefallen, dass ganze mithilfe der Straffheit zu machen. Da der Raum der reellen Zahlen polnisch ist, gilt ja die Äuqivalenz. Sei also $\begin{eqnarray} K = [x-\epsilon, x+\epsilon] \end{eqnarray}$ für ein $\begin{eqnarray} \epsilon >0 \end{eqnarray}$ ein kompaktes Intervall. Sei weiter $\begin{eqnarray} M:=\{\delta_{x_n}:x_n\in \mathbb R\} \end{eqnarray}$ . Dann gilt offensichtlich für jedes $\begin{eqnarray} \epsilon ' > 0: sup \delta_{x_n}(\mathbb R \setminus K)=0 < \epsilon ' \end{eqnarray}$ , da es sich um eine Nullmenge handelt. Also ist M straff und damit die schwache Konvergenz gezeigt. Ist das korrekt? 2. Sei $\begin{eqnarray} \mu_n=\delta_n \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ . Zeige, dass die Folge $\begin{eqnarray} \mu_n \end{eqnarray}$ zwar vage konvergiert, aber nicht schwach. Bestimme den vagen Limes. Mir ist klar, dass der vage Limes das Nullmaß ist. Es ist mir auch anschaulich ziemlich klar, die vage Konvergenz gilt nur für kompakte Intervalle also exisitiert ein N so dass für alle $\begin{eqnarray} n\geq N \end{eqnarray}$ gilt das diese n nicht in diesem kompakten Intervall liegen. Die Testfunktionen habe ich dabei so dargestellt: $\begin{eqnarray} f(x)=g(x)\cdot 1_{[a,b]} \end{eqnarray}$ . Ich weiß einfach nicht wie man das mathematisch sauber notiert. Kann mir hier jemand vielleicht einen Tip geben. Vielen Dank
23.04.2009, 17:24	Fletcher	Auf diesen Beitrag antworten »
Die 1. konnte ich mittlerweile auch anders lösen. Aber bei der 2. komme ich nicht weiter. Hat niemand einen Rat?

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