Untersuchung einer Folge

23.04.2009, 15:31

Schl3imer

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Untersuchung einer Folge

Hallo lieber Matheboardler,

ich beschäftige mich derzeit mit Folgen. An sich weiss ich auch, worum es geht, jedoch fehlt es mir an den Mitteln der mathematischen Umsetzung.

Folgende Folge möchte ich auf Monotonie, Beschränktheit und Grenzwert untersuchen

$\begin{eqnarray*} <br /> <br /> x_{n}:=\begin{pmatrix} \frac{(n+2)}{(n-2)} \end{pmatrix} ^n<br /> <br /> <br /> \end{eqnarray*}$

Den Wertebereich habe ich leider nicht mitgeschrieben. Praktisch wäre ja ab N (3,4,5,...). Wie wäre es ab (1,2,3...) ?.

Der Grenzwert scheint um 54,6 zu liegen. Wie beweise ich das jetzt mathematisch? Die Monotonie scheint streng monton fallend zu sein, auch das gilt es mathematisch korrekt zu beweisen. Die obere Schranke liegt wohl bei 125, ist die untere der Grenzwert? Und wie beweise ich die Schranken mathematisch?

Für eure Hilfe wäre ich euch, wie immer, sehr dankbar smile

smile

Gruß

Schleimi

23.04.2009, 15:55

Cordovan

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Moin!

Weißt du, wie die Eulersche Zahl als Folgengrenzwert definiert ist? Es gilt

$\begin{eqnarray*} e^k=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac kn\right)^n \end{eqnarray*}$ .

Versuche, die Folge auf diese Art umzuformen, dann kannst du den Grenzwert ablesen!

Cordovan

23.04.2009, 16:06

Schl3imer

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Mhh und wie forme ich das um? Erweitern ?

23.04.2009, 16:13

Mathespezialschüler

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Hallo.
Diese Folge soll wahrscheinlich nur für $\begin{eqnarray*} n\geq 3 \end{eqnarray*}$ gebildet werden.

Es gibt nicht die obere Schranke. Wenn $\begin{eqnarray*} 125 \end{eqnarray*}$ eine obere Schranke der Folge ist, dann ist auch jede größere Zahl eine obere Schranke. Du meinst wahrscheinlich die kleinste obere Schranke der Folge, also $\begin{eqnarray*} \sup_{n\geq 3}a_n \end{eqnarray*}$ . Gleiches gilt für die größte untere Schranke, das Infimum. Eine monoton fallende Folge konvergiert tatsächlich gegen das Infimum, das hast du richtig vermutet. Diese Folge ist monoton fallend, auch das stimmt. Außerdem ist dann automatisch auch $\begin{eqnarray*} \sup_{n\geq 3}a_n=a_3 \end{eqnarray*}$ .

Die Monotonie beweist man hier wahrscheinlich, indem man die Ungleichung $\begin{eqnarray*} a_n>a_{n+1} \end{eqnarray*}$ äquivalent umformt und dann die Bernoulli-Ungleichung anwendet. Das könnte allerdings eine unschöne Rechnung werden.

Zur Umformung: $\begin{eqnarray*} \frac{n+2}{n-2}=\frac{(n-2)+4}{n-2} \end{eqnarray*}$ und dann den Bruch auseinanderziehen.

23.04.2009, 16:23

Schl3imer

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Danke für die Denkanstöße, da soll man erstmal draufkommen.. Mal sehen ob ich das soweit hinkriege... Immerhin sind meine Vermutungen schon mal richtig.

Melde mich dann später nochmal Augenzwinkern

Augenzwinkern

23.04.2009, 16:42

Schl3imer

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Okay müsste ja soweit stimmen?

$\begin{eqnarray*} <br /> <br /> \begin{pmatrix}1+\frac{4}{n} \end{pmatrix} ^n<br /> <br /> \end{eqnarray*}$

Aber wie verhält sich das jetzt? Muss ich noch logarithmieren oder ist $\begin{eqnarray*} 1^{\infty} = 1 \end{eqnarray*}$ . Dann wäre der Grenzwert ja 1. Aber irgendwie habe ich den Verdacht $\begin{eqnarray*} 1^{\infty} = \infty \end{eqnarray*}$ . Kann ja net anders sein oder? Bitte schlagt mich nicht für mein Nichtwissen ^^

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23.04.2009, 17:01

Airblader

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Zum Einen:

Dein Resultat ist nicht korrekt. Der Nenner muss (n-2) lauten, oder wie hast du das verschwinden lassen?
Allerdings, und das ist der Witz, kommt es auf das selbe Ergebnis raus. Dennoch ist es falsch.

Mit dem richtigen Nenner lohnt es sich, zB z = n-2 zu substituieren und dann die Potenz auseinanderzuziehen.

Für das Letzte gehörst du aber echt geschlagen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Cordovan hat dir doch gesagt:

$\begin{eqnarray*} e^k = \lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{k}{n}\right)^n \end{eqnarray*}$

Nach "deiner" Logik wäre der Grenzwert aber 1. Das ist leider ein Fehler, der zu oft gemacht wird!
Mit Cordovans Hinweis solltest du den GW dann jedoch bestimmen können.

Edit:
Und noch als Hinweis. Unendlich ist keine reelle Zahl, es ist also auch Unsinn, damit in irgendeiner Form rechnen zu wollen!

air

23.04.2009, 17:34

Frank Xerox

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$\begin{eqnarray*} \operatorname{e}^x = \lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{x}{n}\right)^n \end{eqnarray*}$

Um das einzusehen betrachte:

$\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{x}{n}\right)^n=\left(\underbrace{\left(1+\frac{1}{\frac nx}\right)^{\frac nx}}_{\longrightarrow\operatorname{e}}\right)^x. \end{eqnarray*}$

23.04.2009, 20:03

Schl3imer

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Okay. also das (n-2), da habe ich die -2 versehentlich unterschlagen.. Asche auf mein Haupt. Das mit unendlich nicht gerechnet wird, sollte mir eigentlich klar sein, stimmt. Und eure weiteren Hinweise werde ich mir jetzt mal zu Gemüte führen, auf die schnelle blicke ich das nicht..

Danke trotzdem ! To be continued

23.04.2009, 20:11

Leopold

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Zitat:

Original von Airblader
Unendlich ist keine reelle Zahl, es ist also auch Unsinn, damit in irgendeiner Form rechnen zu wollen!

Dem ersten Teil der Aussage stimme ich zu, dem zweiten nur eingeschränkt.

23.04.2009, 22:16

Schl3imer

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Wie dumm ich bin,

hab bei Cordovan irgendwie den limes ignoriert.

Also ist der Grenzwert $\begin{eqnarray*} e^4 \end{eqnarray*}$ .

23.04.2009, 23:23

Frank Xerox

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Der Grenzwert stimmt zwar aber ist Dir auch klar warum das so ist.

Du hast ja:

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{n+2}{n-2}\right)^n=\left(1+\frac{4}{n-2}\right)^n. \end{eqnarray*}$

Warum geht das denn nu gegen $\begin{eqnarray*} \operatorname{e}^4? \end{eqnarray*}$

23.04.2009, 23:26

Airblader

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Zitat:

Original von Leopold
Dem ersten Teil der Aussage stimme ich zu, dem zweiten nur eingeschränkt.

Okay, ich präzisiere:
Es ist Unsinn, mit "Unendlich" in den reellen Zahlen rechnen zu wollen. Es lassen sich ja durchaus einige Operationen sinnvoll definieren, doch ist es oft besser, dies gar nicht erst zu tun, am Ende entsteht mehr Verwirrung als Abhilfe ...

Und so wird oft vergessen, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0} f(x) = \infty \end{eqnarray*}$ eigentlich gar nicht so sinnvoll ist, befindet man sich in den reellen Zahlen. Doch ist es bequemer, es so zu schreiben.

air

24.04.2009, 10:59

Schl3imer

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Nein wirklich klar ist mir das Ergebnis nicht.

24.04.2009, 11:09

Frank Xerox

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Zitat:

Original von Schl3imer
Nein wirklich klar ist mir das Ergebnis nicht.

Aber Dir ist bekannt, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=\operatorname{e}? \end{eqnarray*}$

24.04.2009, 11:53

Frank Xerox

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Oben hatte ich ja schon mal gezeigt wie man dann auf

$\begin{eqnarray*} \operatorname{e}^x = \lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{x}{n}\right)^n=\lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{x}{n-2}\right)^{n-2} \end{eqnarray*}$

kommt.

Wenn Du nun Deine Folge mal genauer betrachtest:

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{n+2}{n-2}\right)^n=\left(1+\frac{4}{n-2}\right)^n= \underbrace{\left(1+\frac{4}{n-2}\right)^{n-2}}_{\longrightarrow\operatorname{e}^4} \cdot \underbrace{\left(1+\frac{4}{n-2}\right)^2}_{\longrightarrow1} \end{eqnarray*}$

dann sollte es deutlich werden.

24.04.2009, 14:18

Schl3imer

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Sorry für die späte Antwort. Hatte Vorlesung.
Doch,ich denke, jetzt komm ich da soweit mit. Nun soll ich das nur noch soweit in Zukunft ohne Unterstützung hinbekommen. Ich werde mir mal ne ähnliche Folge vornehmen! Viel Dank auf jedenfall smile

smile

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