nullstellen von f(x)=x²/8+2/x

23.04.2009, 16:41

xander13

nullstellen von f(x)=x²/8+2/x

Hallo, die Aufgabe lautet bestimmen sie die schnittpunkte mit der x-achse und die extrempunkte. zeichnen sie den graphen.
c) f(x)= x²/8 + 2/x (in worten x hoch 2 durch 8 plus 2 durch x)

Ich habe alles mögliche ausprobiert, jedoch finde ich die nullstellen, also die schnittpunkte mit der x achse irgendwie nicht?!

kann mir bitte jemand helfen?
hat jemand die lösung?
also graphen zeichnen und extrempunkte bestimmen schaffe ich allein, jedoch finde ich wie gesagt keine nullstelle?!

(x=3.wurzel aus -16 <- da habe ich i-wie rausgefunden scheint aber nicht zu stimmen, da der taschenrechner bei einsetzen in die gleichung eine zahl ungleich 0 liefert...)

vielen dank schon jetzt!
mfg

23.04.2009, 16:47

IfindU

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RE: nullstellen von f(x)=x²/8+2/x
Deine Lösung müsste stimmen, zumindest wenn ich gerade im Kopf keinen Fehler gemacht habe stimmt deine Lösung. Vlt rundet dein Taschenrechner, oder du gibst das gerundete Ergebnis ein, oder du vergisst Klammern.

23.04.2009, 16:52

Q-fLaDeN

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Umgeformt hast du richtig, allerdings ist die n-te Wurzel für negative Zahlen nicht definiert. Und das gilt sowohl wenn n gerade als auch ungerade ist.

23.04.2009, 17:04

IfindU

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Ich frag mich nur gerade warum mir Derive 3 Lösungen (davon nur 2 komplexe) ausgespuckt hat.

23.04.2009, 17:17

Huggy

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Zitat:

Original von IfindU
Ich frag mich nur gerade warum mir Derive 3 Lösungen (davon nur 2 komplexe) ausgespuckt hat.

Wo ist denn denn das Problem?
Es geht doch um die Lösungen der Gleichung $\begin{eqnarray*} x^3 + 16=0 \end{eqnarray*}$ . Und die hat genau eine reelle Lösung, nämlich $\begin{eqnarray*} -16^{1/3} \end{eqnarray*}$ .

23.04.2009, 17:20

IfindU

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Ja, aber wenn die Wurzel nicht definiert ist, das meint ich.

23.04.2009, 17:26

Q-fLaDeN

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Sorry hatte dann wohl einen Fehler in meiner Überlegung.
Mir war aus dem Board bekannt, dass die n-te Wurzel eines negativen Radikanten für ungerade n nicht definiert ist (für gerade n sowieso nicht). Obwohl es ja eig. unlogisch ist, denn man kann das ja ganz einfach berechnen.
Weiss leider nicht mehr in welchem Thread ich das gelesen habe. Sorry für die Verwirrung.

23.04.2009, 17:34

Huggy

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Zitat:

Original von IfindU
Ja, aber wenn die Wurzel nicht definiert ist, das meint ich.

Das spielt keine Rolle. $\begin{eqnarray*} -\sqrt[3]{16} \end{eqnarray*}$ ist eine Lösung der Gleichung und da taucht keine Wurzel aus einer negativen Zahl auf.

23.04.2009, 17:44

IfindU

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Um genau zu sein wäre die Lösung $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{-16} \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} -\sqrt[3]{16} \end{eqnarray*}$ . Das zweite wäre ja ganz sicher definierte, bloss beim ersten hab ich auch schon häufiger gehört, dass im reelen keine negativen wurzeln gezogen werden, da man z.b. mit erweitern daraus immer ein quadrat machen kann und dann aus der positiven Zahl die Wurzel ziehen würde.
Leider hab ich mich damit nie intensiv auseinander gesetzt.

23.04.2009, 17:54

Huggy

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Zitat:

Original von IfindU
Um genau zu sein wäre die Lösung $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{-16} \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} -\sqrt[3]{16} \end{eqnarray*}$ .

Das sehe ich etwas anders. Wenn man die Lösung als $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{-16} \end{eqnarray*}$ schreibt, muss man Wurzeln aus negativen Zahlen erst mal definieren und daraus resultieren gewisse Komplikationen, wie du richtig bemerkt hast. Andererseits sieht man einfach durch Einsetzen, dass $\begin{eqnarray*} -\sqrt[3]{16} \end{eqnarray*}$ eine Lösung der Gleichung ist.

23.04.2009, 19:09

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Zitat:

Original von IfindU
Um genau zu sein wäre die Lösung $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{-16} \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} -\sqrt[3]{16} \end{eqnarray*}$ .

Und selbst wenn man diese negativen dritten Wurzeln zulässt, sind beide Werte gleich. Insofern ist diese Aussage sinnfrei. Augenzwinkern

23.04.2009, 19:15

IfindU

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Ich wollte ja nur darauf hinaus, dass man algebraisch auf die laut Q-fLaDeN nicht definierte Wurzel kommt und deswegen die Wurzeln ja unter strengen Voraussetzungen nicht gleich wären.
"Schulmathematisch" (das einzige was ich wirklich kenne) hätte ich auch einfach gesagt: $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{-16} = \sqrt[3]{(-1) \cdot16} = \sqrt[3]{-1} \cdot \sqrt[3]{16} = -\sqrt[3]{16} \end{eqnarray*}$ Nur erscheint es mir nicht wirklich "sauber".

23.04.2009, 20:05

Huggy

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Zitat:

Original von IfindU
Ich wollte ja nur darauf hinaus, dass man algebraisch auf die laut Q-fLaDeN nicht definierte Wurzel kommt und deswegen die Wurzeln ja unter strengen Voraussetzungen nicht gleich wären.
"Schulmathematisch" (das einzige was ich wirklich kenne) hätte ich auch einfach gesagt: $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{-16} = \sqrt[3]{(-1) \cdot16} = \sqrt[3]{-1} \cdot \sqrt[3]{16} = -\sqrt[3]{16} \end{eqnarray*}$ Nur erscheint es mir nicht wirklich "sauber".

Das scheint ja echt ein schwieriges Thema zu sein. Deshalb mal ganz ausführlich.
Algebraisch kommt man zunächst auf gar nichts. Denn zu schreiben, aus

$\begin{eqnarray*} x^3=-16\quad \text{folgt} \quad x = \sqrt[3]{-16} \end{eqnarray*}$

ist eine sinnlose Aneinanderreihung von Symbolen, solange man nicht definiert hat, was die 3. Wurzel aus einer negativen Zahl sein soll. Nun kann man selbstverständlich definieren:

$\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{-16}=-\sqrt[3]{16} \end{eqnarray*}$

Das ist ja auch die einzig sinnvolle Definition. Es ist auch nicht verboten, das so zu definieren. Aber dann kann man das nicht mehr in der üblichen Weise als Potenzen mit den üblichen Potenzregeln schreiben. Denn dann könnte man ableiten:

$\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{-16}=(-16)^{1/3}=(-16)^{2/6}=((-16)^2)^{1/6}=(16^2)^{1/6}=16^{2/6}=16^{1/3}=\sqrt[3]{16} \end{eqnarray*}$

Und schon hat man einen Widerspruch zur obigen Definition.

23.04.2009, 21:12

xander13

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hi, erst einmal vielen dank für die vielen antworten!!!
ich hätte nicht gedacht das direkt eine solche diskussion entsteht ;D
ich hätt auch gesagt wenn man sagt, dass -3.wurzel aus 16 die lösung sei dann bedeutet dies ja das -1 mal dritte wurzel aus 16 die lösung ist und die dritte wurzel aus sechszehn kann ja positiv und negativ sein, ist diese negativ so ergibt minus 1 mal diese negative zahl wieder positiv, was jedoch nicht sein kann da die dritte wurzel aus minus 16 nur negativ ist. hoffe das hab ich richtig verstanden Big Laugh

so und jetzt zur eig. frage nochmal: ist also x=3.wurzel aus -16 die einzige nullstelle oder hab ich da was übersehen?
eig hab ich alles richtig in den taschenrechner eingegeben, aber wenn ihr sagt die lösung stimmt dann ist ja gut^^

mfg

thx nochmal!

24.04.2009, 09:23

Huggy

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Zitat:

Original von xander13
die dritte wurzel aus sechszehn kann ja positiv und negativ sein

Nein! Die dritte Wurzel aus 16 kann nicht negativ sein. Denn die dritte Potenz einer negativen Zahl ist negativ und nicht positiv.

Zitat:

so und jetzt zur eig. frage nochmal: ist also x=3.wurzel aus -16 die einzige nullstelle oder hab ich da was übersehen?

$\begin{eqnarray*} -\sqrt[3]{16} \end{eqnarray*}$ ist die einzige reelle Nullstelle. Und es geht ja bei der Aufgabe nur um die reellen Nullstellen.

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