Koordinatengleichungen von Ebenen

23.04.2009, 16:58

schnix29

Koordinatengleichungen von Ebenen

Hallo,

Ich soll als Hausaufgabe die Koordinatengleichung von der x2x3 Ebene bestimmen. Hab dazu auch schon erstmal die Parameterform bestimmt also :

E:x= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} +r\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix} +s\begin{pmatrix} 0 \\ 0\\ 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

hab dann jetzt also x1=0
x2=r
x3=s

Ich hab das aber noch nicht richtig geschnallt wie dann am Ende die Koordinatengleichung aussehen soll. Kann mir jemand helfen? Ist bestimmt ziemlich einfach oder?

Kann es sein das die Gleichung nur einfach x1=0 ist??

23.04.2009, 18:58

Leopold

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RE: Koordinatengleichungen von Ebenen

Zitat:

Original von schnix29
Kann es sein das die Gleichung nur einfach x1=0 ist??

Alle Punkte der $\begin{eqnarray*} x_2x_3 \end{eqnarray*}$ -Ebene haben 0 als erste Koordinate und beliebige Zahlen als zweite und dritte Koordinate. Und damit sind sie durch die Bedingung $\begin{eqnarray*} x_1 = 0 \end{eqnarray*}$ vollständig charakterisiert.

Du liegst also vollkommen richtig. Freude

23.04.2009, 20:09

Ib4neZ

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RE: Koordinatengleichungen von Ebenen
Um dir das nochmal im Detail zu erläutern:
Es gibt 3 klassische Formen, eine Ebene zu beschreiben:

1) Die Parameterform $\begin{eqnarray*} E: \vec{x} = \vec{p} + r \cdot \vec{u} + s \cdot \vec{v} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \vec{p} = \vec{OP} \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} P\in E \end{eqnarray*}$ ), den Parametern $\begin{eqnarray*} r,s\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ und den Spannvektoren $\begin{eqnarray*} \vec{u}, \vec{v} \end{eqnarray*}$ l.u.

2) Die Normalform $\begin{eqnarray*} E: [ \vec{x} - \vec{p}] \cdot \vec{n} = 0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \vec{p} = \vec{OP} \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} P\in E \end{eqnarray*}$ ), $\begin{eqnarray*} \vec{n} \perp \vec{x}, \vec{n} \perp \vec{p} \end{eqnarray*}$

3) Die Koordinatenform $\begin{eqnarray*} E: n_{1} \cdot x_{1} + n_{2} \cdot x_{2} + n_{3} \cdot x_{3} = d \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} d\in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Gegeben ist die Ebene in Parameterform:
$\begin{eqnarray*} E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} +s\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Für den Normalenvektor $\begin{eqnarray*} \vec{n} \end{eqnarray*}$ der Ebene gilt: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Daraus ergibt sich für die Normalform (mit $\begin{eqnarray*} P(0| 0|0) \end{eqnarray*}$ ):
$\begin{eqnarray*} E: [\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}] \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Mithilfe des Skalarproduktes folgt:

$\begin{eqnarray*} 1 \cdot x_1 + 0 \cdot x_2 + 0 \cdot x_3 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_1 = 0 \end{eqnarray*}$ <-- Koordinatenform

Dementsprechend ist die Koordinatenform die ausmultiplizierte Form der Normalform.

Gruß, Ib4neZ

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