Grenzwert von Riemann-Summen

23.04.2009, 17:56

IrMel

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Grenzwert von Riemann-Summen

Hallo,

ich möchte drei Grenzwerte berechnen. Als Hinweis ist angegeben:

die Riemannsumme

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}~f(x)~dx = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n~f( \frac{k}{n} ) \end{eqnarray*}$

nun die Aufgabe a)

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n~ \frac{n}{n^{2}+k^{2}} \end{eqnarray*}$

ich habe dann mit n erweitert

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n~ \frac{n^{2}}{n*(n^{2}+k^{2})} \end{eqnarray*}$

das $\begin{eqnarray*} \frac {1}{n} \end{eqnarray*}$ vor das Summenzeichen gesetzt

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac {1}{n} \sum_{k=1}^n~ \frac{n^{2}}{n^{2}+k^{2}} \end{eqnarray*}$

auch mit $\begin{eqnarray*} (n²-k²) \end{eqnarray*}$ erweitert und :

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n~\frac{n^{4}-n^{2}k^{2}}{n^{4}-k^{4}} \end{eqnarray*}$

Wie soll ich nun weiter vorgehen?

23.04.2009, 18:06

Airblader

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Ich hätte statt zu erweitern lieber durch n² gekürzt.
Dann kannst du $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1}{1+x^2} \end{eqnarray*}$ definieren und den Ausdruck durch ein Integral angeben.

air

23.04.2009, 18:10

IrMel

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da kann ich doch nicht kürzen

$\begin{eqnarray*} \frac{n²}{n²+k²} \neq \frac{1}{1+k²} \end{eqnarray*}$

23.04.2009, 18:12

Airblader

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Etwas flexibler sein! Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wie wäre es mit

$\begin{eqnarray*} \frac{n^2}{n^2+k^2} = \frac{1}{1 + \frac{k^2}{n^2}} = \frac{1}{1+\left(\frac{k}{n}\right)^2} \end{eqnarray*}$

air

23.04.2009, 18:24

IrMel

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ok, also wäre das:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac {1}{n} \sum_{k=1}^n~ \frac{1}{1+(\frac{k}{n})^2} = \int_{0}^{1}~\frac{1}{1+(\frac{k}{n})^2}~dx \end{eqnarray*}$

heißt also ich muss nun das integral von dem Bruch berechnen? Wie macht man das?

23.04.2009, 18:25

Airblader

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Das ist falsch.
Das ist doch Hochschulmathe, also etwas mehr Nachdenken!

Genau genommen habe ich dir den richtigen Schritt sogar verraten. Schau dir den Tipp der Rieman-Summe nochmal genau an und überlege, wo in deiner Gleichheit der Fehler ist!

@ all
Bitte jmd übernehmen, ich muss nun arbeiten gehen ..

air

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23.04.2009, 18:31

stereo

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Zitat:

Original von IrMel

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac {1}{n} \sum_{k=1}^n~ \frac{1}{1+(\frac{k}{n})^2} = \int_{0}^{1}~\frac{1}{1+(\frac{k}{n})^2}~dx \end{eqnarray*}$

Du integrierst doch:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}~\frac{1}{1+x^2}~dx \end{eqnarray*}$

Jetzt musst du halt die trigonometrische Stammfunktion finden, die abgeleitet $\begin{eqnarray*} F'(x) = \frac{1}{1+x^2} \end{eqnarray*}$ ergibt.

Solltest du in einer Formelsammlung oder im Internet finden.

23.04.2009, 18:38

IrMel

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Mein Fehler liegt wohl darin, dass bei der Summe die abhängigen Variablen k und n sind, wohingegen in der Integrationsformel nur von x die Rede ist.

aber wie komme ich von dem $\begin{eqnarray*} f(\frac {k}{n}) \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ ?

23.04.2009, 19:07

IrMel

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okay, also die Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} \frac {1}{1+x²} \end{eqnarray*}$ ist der $\begin{eqnarray*} arctan(x) \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} arctan(1)-arctan(0)=\frac {\pi}{4} \end{eqnarray*}$

also ist der Grenzwert der Summe $\begin{eqnarray*} \frac {\pi}{4} \end{eqnarray*}$ ?

23.04.2009, 19:13

stereo

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RE: Grenzwert von Riemann-Summen

Zitat:

Original von IrMel

die Riemannsumme

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}~f(x)~dx = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n~f( \frac{k}{n} ) \end{eqnarray*}$

...

Da steht deine Antwort.

Dein Ergebnis stimmt, ich sehe keinen Fehler.

23.04.2009, 19:27

IrMel

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okay, ich drücke die Daumen, dass ich es nun verstanden habe.

Aufgabe b) habe ich nun probiert:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~\frac{k}{n²+k²} \end{eqnarray*}$

ich habe dann wieder mit n erweitert

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac {1}{n} \sum_{k=1}^n~\frac{n*k}{n²+k²} = \lim_{n \to \infty} \frac {1}{n} \sum_{k=1}^n~\frac{1}{\frac{n}{k} + \frac{k}{n}} \end{eqnarray*}$

bedeutet also

$\begin{eqnarray*} F'(x) = \frac {1}{x^{-1}+x} \end{eqnarray*}$

Nun weiß ich nicht, wie ich den Term integrieren muss.

23.04.2009, 19:36

Leopold

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Indem du ihn erst einmal vereinfachst. Dieses $\begin{eqnarray*} x^{-1} \end{eqnarray*}$ ist ja in Wirklichkeit ein Bruch. Also hast du einen Bruch im Bruch. Das geht schöner.

23.04.2009, 19:39

stereo

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Auch hier musst du wieder kleine Umformungen treffen.

Vielleicht hilft dir der Tip:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac 1 {\frac 1 x + x} = \frac 1 {\frac 1 x + \frac {x^2} {x}} \end{eqnarray*}$

23.04.2009, 19:59

IrMel

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$\begin{eqnarray*} F'(x)=\frac {1}{\frac{1+x²}{x}} = \frac {x}{1+x²} \end{eqnarray*}$

ok, nun brauche ich die Stammfunktion. Dieser Term existiert nicht in meiner Formelsammlung. Taschenrechner spuckt zwar $\begin{eqnarray*} \frac {ln(x²+1)}{2} \end{eqnarray*}$ aus, nur weiß ich nicht, wie man dorthin kommt. Welche Regel muss man hier anwenden?

23.04.2009, 20:04

Leopold

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Bei geeigneten Differenzierbarkeitsvoraussetzungen:

$\begin{eqnarray*} g(x) = \ln f(x) \ \ \Rightarrow \ \ g'(x) = \frac{f'(x)}{f(x)} \end{eqnarray*}$

Kettenregel!

23.04.2009, 20:18

IrMel

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okay, also ist g'(x) meine derzeitige Formel, die ich dort stehen habe und g(x) die Stammfunktion, die ich suche:

$\begin{eqnarray*} g'(x) = \frac{x}{1+x²} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(x) = \ln f(x)=\ln (1+x²) \end{eqnarray*}$

nun aber woher kommt geteilt durch 2?

23.04.2009, 20:20

Leopold

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Dein $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ ist nicht die Stammfunktion von deinem $\begin{eqnarray*} g' \end{eqnarray*}$ (nur "fast").

23.04.2009, 20:24

IrMel

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ah ok warte:

sagen wir $\begin{eqnarray*} g(x)=\ln(1+x²) \end{eqnarray*}$ dann ist die ableitung: $\begin{eqnarray*} g'(x) = \frac {2x}{1+x²} \end{eqnarray*}$

da ich oben jedoch nur x und nicht 2x stehen haben möchte, muss ich auch $\begin{eqnarray*} \frac {\ln(1+x²)}{2} \end{eqnarray*}$ schreiben, stimmt das?

23.04.2009, 20:27

Leopold

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Ja, das stimmt. Und es ist nichts anderes als die aus der Schule bekannte Faktorregel: Beim Differenzieren bleibt ein konstanter Faktor erhalten. Hier ist es der Faktor 1/2.

23.04.2009, 20:37

IrMel

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Gut, dann habe ich das schonmal begriffen. Damit habe ich schonmal 2/36 Punkten Hammer

Hammer

Nun habe ich noch viele Aufgaben, in denen man das Integral bestimmen soll wie z.B. $\begin{eqnarray*} \int_{1}^{8}~\frac {1}{x\sqrt[3]{x}}~dx \end{eqnarray*}$ . Hier soll man den Hauptsatz benutzen. Habe als Kommentar daneben geschrieben:
f(x) muss integrierbar sein, also muss f(x) auch beschränkt und/oder stetig sein. Brauch ich das?

Naja der Hauptsatz besagt ja:

$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b}~f(x)~dx = F(b) - F(a) \end{eqnarray*}$

Demnach:

$\begin{eqnarray*} \int_{1}^{8}~\frac {1}{x\sqrt[3]{x}}~dx = F(8) - F(1) \end{eqnarray*}$

Muss ich also zuerst die Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} \frac {1} {x\sqrt[3]{x}} \end{eqnarray*}$ bilden und einsetzen? Also muss ich... Produktregel anwenden?

Edit: Ich lese grade, ich muss die partielle Integration anwenden... na dann les ich mich da mal rein

23.04.2009, 20:43

stereo

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Bevor du andere Integrale rechnen willst, kannst du bitte nochmal das Integral niederschreiben?

$\begin{eqnarray*} \int^1_0 \frac x {1+x^2} = \ldots \end{eqnarray*}$

23.04.2009, 20:51

IrMel

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$\begin{eqnarray*} \int^1_0 \frac x {1+x^2} = \frac {\ln(1+x²)}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} | x=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac {\ln(1+1²)}{2} = \frac {\ln(2)}{2} \end{eqnarray*}$ und das ist ungefähr $\begin{eqnarray*} 0,346574 \end{eqnarray*}$

stimmt das so?

23.04.2009, 20:54

Frank Xerox

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$\begin{eqnarray*} \frac {1}{x\sqrt[3]{x}}=x^{-\frac{4}{3}} \end{eqnarray*}$

23.04.2009, 21:08

stereo

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Ich meinte was anderes, du hast deine Stammfunktion durch erraten erhalten

$\begin{eqnarray*} \int^1_0 \frac x {1+x^2} = \int^1_0 \frac 2 2 \cdot \frac x {1+x^2} = \frac 1 2 \int^1_0 \frac {2x} {1+x^2} =\frac 1 2 \left [ \ln (1 + x^2) \right]_0^1 \end{eqnarray*}$

Wenn du das so hättest nieder schreiben können ist alles ok smile

smile

23.04.2009, 21:15

IrMel

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ja, das wäre machbar ^^

also gut, nun zur partiellen Integration? (also hier noch nicht, aber danach):

$\begin{eqnarray*} f(x) = x^{-\frac{4}{3}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} F(x) = -3^{-\frac{1}{3}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{1}^{8}~x^{-\frac{4}{3}}~dx = F(8) - F(1) = -\frac {3}{\sqrt[3]{8} } -(-3) = \frac {3}{2} \end{eqnarray*}$

Nun muss mir aber nochmal jemand erklären, was das genau zu bedeuten hat. Das hast du eben auch schon benutzt:

$\begin{eqnarray*} [f(x)g(x)]_{b}^a \end{eqnarray*}$

23.04.2009, 21:38

IrMel

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ich habe b) gelöst und bin nun bei c), wo man (denke ich) die partielle integration anwenden muss. ich habe mich auch schlau gemacht, was $\begin{eqnarray*} [f(x)g(x)]_{a}^b \end{eqnarray*}$ zu bedeuten hat. Das ist doch gar nicht so schwer (ist nur verwirrend, da Latex die Variablen a und b vertauscht).

nun gut, ich bin bisher soweit gekommen:
c)
$\begin{eqnarray*} \int_{1}^{n}~\frac{nx^{n}}{n+1}~dx | n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x) = nx^{n} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x) = n²x^{n-1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g(x) = \ln(n+1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g'(x) = (n+1)^{-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{1}^{n}~nx^{n}*\frac{1}{n+1}~dx = [nx^{n}*\ln(n+1)]_{1}^n - \int_{1}^{n}~n²x^{n-1}*\ln(n+1)~dx \end{eqnarray*}$

23.04.2009, 23:57

IrMel

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dass ich hier wiedermal nur umformen muss und keine partialintegration anwenden muss, hätte man mir ruhig sagen können verwirrt

verwirrt

drei stunden vergeudet böse

böse

23.04.2009, 23:57

Frank Xerox

Auf diesen Beitrag antworten »

Nö!

$\begin{eqnarray*} \int_{1}^{n}~\frac{nx^{n}}{n+1}~dx=\frac{n}{n+1}\int_{1}^{n}~x^n~dx \end{eqnarray*}$

24.04.2009, 00:16

Frank Xerox

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Zitat:

Original von IrMel
dass ich hier wiedermal nur umformen muss und keine partialintegration anwenden muss, hätte man mir ruhig sagen können verwirrt

verwirrt

drei stunden vergeudet böse

böse

Wenn Du für diese tiefsinnige Einsicht 3 Stunden benötigst, dann vergeudest Du eigentlich noch viel mehr als nur 3 diese Stunden...

24.04.2009, 00:17

IrMel

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$\begin{eqnarray*} \frac {n}{n+1} \int_{1}^{n}~x^{n}~dx = \frac {n}{n+1} * (\frac{n^{n+1}}{1+n}-\frac{1^{n+1}}{1+n}) = \frac {n}{n+1} * (\frac{n^{n+1}}{1+n}-\frac{1}{1+n}) = \frac{n^{n+2}-n}{(n+1)²} \end{eqnarray*}$

War etwas übertrieben Augenzwinkern

Augenzwinkern

aber man sitzt schon recht lange daran herum, wenn man's falsch macht und es nicht merkt. Es ging schließlich immer weiter.
Übrigens habe ich diese Aufgabe auch lösen können, bevor du mir den Tipp gegeben hast. Ich habe es nur dir zu Liebe nun nocheinmal mit deiner Hilfe gerechnet. Meine Art war wie in der Schule: bischen rumknobeln, was die Stammfunktion wohl sein kann

24.04.2009, 00:24

IrMel

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ich habe da aber doch noch schnell eine Frage:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~f(t) (x-t)~dt \end{eqnarray*}$

was genau bedeutet das (x-t)?

24.04.2009, 17:11

stereo

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Das ist halt einfach ein Produkt.

Man könnte auch

$\begin{eqnarray*} \int f (t) \cdot x - f (t) \cdot t ~\dd t \end{eqnarray*}$

schreiben.

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