Matrizen-Determinante und Rang

23.04.2009, 20:28

michelle89

Matrizen-Determinante und Rang

Hallo ihr!

Muss dringend für die Uni folgenden Aufgabe lösen:

Es seien $\begin{eqnarray*} A= \begin{vmatrix} a_11 & a_12 & a_13 \\ a_21 & a_22 & a_23 \\ a_31 & a_32 & a_33 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} b=\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
mit aij E R, bi E R (i,j =1,2,3) gegeben und es sei bekannt, dass det A = -12

jetzt soll berechnet werden

r $\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} a_11 & a_12 & a_13& b_1 \\ a_21 & a_22 & a_23& b_2 \\ a_31 & a_32 & a_33& b_2\end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

leider sehe ich aber den Zusammenhang zwischen dem Rang und dieser gegebenen Determinante nicht, dh. wenn det ungleich 0 besitzt die Matrix vollen Rang, ist also hier der Fall, jedoch lautet jetzt der Rang einfach 3, da sich drei Nullverschiedene Elemente in der Hauptdiagonale befinden?

Danke für eure Hilfe, liebs grüessli

Michelle

24.04.2009, 00:31

Mathespezialschüler

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Hallo!

Zitat:

Original von michelle89
leider sehe ich aber den Zusammenhang zwischen dem Rang und dieser gegebenen Determinante nicht, dh. wenn det ungleich 0 besitzt die Matrix vollen Rang, ist also hier der Fall, jedoch lautet jetzt der Rang einfach 3, da sich drei Nullverschiedene Elemente in der Hauptdiagonale befinden?

Bitte drücke dich klarer aus, der Rang welcher Matrix ist 3 und welche Diagonalelemente meinst du? Die Begründung klingt sehr falsch.

Da schon $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ den Rang drei hat und der Rang gerade die Dimension des von den Spaltenvektoren aufgespannten Untervektorraums $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ ist, muss schon $\begin{eqnarray*} U=\mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ gelten. Nimmt man nun den Vektor $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ noch dazu, so kommt natürlich als erzeugter Untervektorraum wieder $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ heraus, also ist der Rang drei.

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