Beweis. a<b ^ c<d => a+c < b+d. Wie gehe ich ran?

23.04.2009, 23:14

Bladecatcher

Beweis. a<b ^ c<d => a+c < b+d. Wie gehe ich ran?

Hallo,

ich bin hier neu im Board. Mein Name ist Artur und hoffe hier Hilfe zu finden. Wir sollen für natürliche Zahlen beweisen

$\begin{eqnarray*} a<b \wedge c<d \Rightarrow a+c < b+d \end{eqnarray*}$

Ich habe mich schon für die Veranstaltung an der Uni nicht wenig mit Aussagenlogik beschäftigt. Auch Aussagen bewiesen, umgeformt, aber meistens mit 2 oder 3 Aussagenvariablen und den gegebenen Junktoren $\begin{eqnarray*} \vee \wedge \neg \end{eqnarray*}$ . Damit lassen sich Aussagen ja mittels Wahrheitstafel leicht beweisen.

In dem obigen Beispiel weiss ich nicht wann z.B. $\begin{eqnarray*} a<b \end{eqnarray*}$ ist. Habe versucht mit einer Wahrheitstabelle zu arbeiten, aber ich komme da einfach nicht weiter wegen dem Ungleichungssymbol. Wann ist eine der Variablen größer oder kleiner?

Mir liegt viel dran es zu verstehen, wäre für eine Erklärung dankbar smile

23.04.2009, 23:19

stereo

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Man könnte das so zeigen:

a + c < b + c

c + b < d + b

c + b = b + c < d + b = b + d

=> a + c < b + d

24.04.2009, 12:55

Bladecatcher

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achso. das erklärt sich ja von selbst. meine glaskugel sagt das gleiche.

nee im ernst. kannst du das bitte erklären? will nicht einfach eine lösung.

Ich verstehe was du da gemacht hast, aber wieso beweist es die Implikation?

24.04.2009, 13:31

Jacques

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Hallo,

Dass man bei einer Ungleichung zu beiden Seiten eine Zahl addieren darf, ist durch ein Axiom festgelegt:

$\begin{eqnarray*} x < y \ \Rightarrow\ x + z < y + z \end{eqnarray*}$

(für alle reellen Zahlen x, y, z)

Teilweise wird dieses Axiom auch anders formuliert.

Es gilt also:

$\begin{eqnarray*} a < b \ \Rightarrow\ a + c < b + c \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} c < d \ \Rightarrow\ c + b < d + b \end{eqnarray*}$

Also

$\begin{eqnarray*} a < b \ \wedge\ c < d \ \Rightarrow\ a + c < b + c \ \wedge\ c + b < d + b \end{eqnarray*}$

Dann musst Du nur noch die Kommutativität der Addition und die Transitivität der <-Relation ausnutzen:

$\begin{eqnarray*} x < y \ \wedge\ y < z \ \Rightarrow\ x < z \end{eqnarray*}$

(für alle reellen Zahlen x, y, z)

Die Transitivität ist ebenfalls ein Axiom.

24.04.2009, 17:37

stereo

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Entschuldige meine Schlampigkeit mit Axiomen smile

Naja die Sache bei solchen Aufgaben ist, dass die Lösung ohne "Beweis" ersichtlich ist.

Dann helfen dir eigentlich immer die Axiome, wie Jaques schön gezeigt hat.

24.04.2009, 17:45

Jacques

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Was mich noch wundert: In der Aufgabenstellung ist ausdrücklich von natürlichen Zahlen die Rede. Vielleicht gibt es dort einen anderen Ansatz mit abgeschwächten Axiomen oder so?

Dann müsste Bladecatcher aber wahrscheinlich noch genauer sagen, was vorher besprochen worden ist. smile

24.04.2009, 21:41

Zizou66

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Ich würde gerne einen weiteren Beweis anführen:

Es gilt: $\begin{eqnarray*} a<b, c<d \end{eqnarray*}$

Dann folgt $\begin{eqnarray*} a+c<b+d\qquad * \end{eqnarray*}$

Wegen der Voraussetzung ist $\begin{eqnarray*} b-a>0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} c-d<0 \end{eqnarray*}$

Nun wird die Gleichung $\begin{eqnarray*} * \end{eqnarray*}$ umgeformt:

$\begin{eqnarray*} c-d<b-a \end{eqnarray*}$

Nun ist die linke Seite wg. der Vorbereitung kleiner 0, die rechte größer null. Der Beweis ist erbracht.

24.04.2009, 22:16

Bladecatcher

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okay. vielen dank. ergibt für mich sinn. axiome sind was schönes.

25.04.2009, 16:13

Jacques

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@ Zizou66:

Was bringen die weiteren Umformungen? verwirrt

Der Beweis ist doch schon in der zweiten Zeile fertig, was bringt es zu wissen, dass

$\begin{eqnarray*} \underbrace{c - d}_{< 0} < \underbrace{b - a}_{> 0} \end{eqnarray*}$

gilt ?

25.04.2009, 16:28

Zizou66

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Ich finde den von mir angegebenen Beweis einfacher zu verstehen.

25.04.2009, 18:55

Jacques

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Ah, jetzt verstehe ich es. Du hast zuerst die Behauptung nochmal aufgeschrieben und danach durch Äquivalenzumformung begründet.

Das mit dem

Zitat:

Original von Zizou66

Es gilt: $\begin{eqnarray*} a<b, c<d \end{eqnarray*}$

klang für mich so komisch.

Vielleicht sollte man lieber schreiben:

$\begin{eqnarray*} a < b \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} b - a > 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c < d \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} c - d < 0 \end{eqnarray*}$

Also

$\begin{eqnarray*} c - d < b - a \ \Longleftrightarrow\ a + c < b + d \end{eqnarray*}$

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