Überabzählbarkeit von IR

13.09.2006, 20:28

akechi90

Überabzählbarkeit von IR

Ich glaube, ich habe einen einfacheren Beweis als das Cantor'sche Diagonalenargument gefunden, für die Überabzählbarkeit der reellen Zahlen.
Ich bin mir in seiner Richtigkeit nicht 100% sicher, deshalb frage ich hier, ob er richtig ist.

Gegeben sei die Dezimaldarstellung einer beliebigen irrationalen Zahl x. Der Versuch der Bijektion besteht nun darin, die Menge $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ auf die Menge der reellen Zahlen im Intervall [0;1] abzubilden, mit der Abbildung:
$\begin{eqnarray*} f: n \to frac(nx) \end{eqnarray*}$
frac sei hier der Bruchteil der Zahl.
Keine Zahl im Intervall [0;1] wird dabei mehr als einmal durch die Bijektion getroffen. Sonst ist die Differenz zwischen $\begin{eqnarray*} f(n_{1}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(n_{2}) \end{eqnarray*}$ eine ganze Zahl, was im Widerspruch zur Definition von x steht.
Angenommen, es gäbe eine Zahl
$\begin{eqnarray*} 0,0abcde... \end{eqnarray*}$
Dann kann es laut der Definition von x auch keine Zahl
$\begin{eqnarray*} 0,kacbde... \end{eqnarray*}$
geben, wenn die Stellen a,b,c,d,e und die nachfolgenden Ziffern übereinstimmen.
Die Bijektion kann so also nicht vervollständigt werden.
Es gibt keine irrationale Zahl x, die die geforderten Eigenschaften erfüllt.
Damit ist die Kardinalität der irrationalen Zahlen im Intervall [0;1] größer als die der natürlichen Zahlen, und somit nicht abzählbar. Damit ist die Menge der irrationalen - und somit auch die der reellen Zahlen - überabzählbar.
q.e.d.

Ich bin mir nicht sicher, ob der Beweis richtig ist, daher frage ich hier lieber nach.

13.09.2006, 20:47

sqrt(2)

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RE: Überabzählbarkeit von IR
Ich werde aus

Zitat:

Original von akechi90
Angenommen, es gäbe eine Zahl
$\begin{eqnarray*} 0,0abcde... \end{eqnarray*}$
Dann kann es laut der Definition von x auch keine Zahl
$\begin{eqnarray*} 0,kacbde... \end{eqnarray*}$
geben, wenn die Stellen a,b,c,d,e und die nachfolgenden Ziffern übereinstimmen.

nicht wirklich schlau, weil mir nicht wirklich klar ist, was die Formulierung "es gibt eine Zahl" bedeuten soll.

Außerdem sehe ich nicht, wie du mit diesem Beweisversuch zeigen willst, dass es keine Bijektion geben kann. Wenn ich deine Beweismethode richtig verstehe, zeigst du lediglich, dass deine Abbildung keine Bijektion ist. Cantors Diagonalargument ist es egal, in welcher Art und Weise die rellen Zahlen abgezählt werden (denn die Sortierung der Liste ist unerheblich), daher zeigt er damit die Unmöglichkeit einer Bijektion, aber du legst dich auf eine bestimmte Abbildung fest.

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