Minimales Primideal

24.04.2009, 14:48

C.Pistorius

Minimales Primideal

Lieber Matheboardler,

ich suche einen Lösungsansatz für das folgende Problem:

Zeigen Sie, dass jeder Ring (außer der triviale Ring) ein minimales Primideal besitzt (Lemma von Zorn)

Hat mir da jemand einen Ansatz?

Danke und liebe Grüße.
C.

24.04.2009, 15:56

Reksilat

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RE: Minimales Primideal
Hi C.,

Hier sind zwei Sachen zu erledigen:
1) Wieso besitzt jeder kommutative Ring ein Primideal?
2) Wieso gibt es dann minimale Primideale?

Bei der ersten Frage hilft es, wenn man weiß, dass maximale Ideale immer Primideale sind.

Bei der zweiten Frage benötigt man dann das LvZ erneut, nur hier ist die Halbordnung dann eben die umgekehrte Inklusion. Man nimmt sich eine Kette von Primidealen und zeigt, dass diese eine untere Schranke hat.

Gruß,
Reksilat.

26.04.2009, 14:12

C.Pistorius

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HI Du,

danke, das hört sich schonmal wirklich gut an.

zu 1) ist meine Vermutung, dass doch schon (0) (Hauptideal mit dem erzeugenden Element 0) ein Primideal ist, ist das richtig?

zu 2) habe ich eine Vermutug, aber da will ich erst mal schauen, ob 1) passt ;-) wobei ich aber gleich schonmal die Frage stellen mag, wie man von der Aussage Zorns, dass es maximale Elemtente gibt, auf die Existenz eines minimalen Primideals kommen kann.

LG C.

26.04.2009, 15:11

Reksilat

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Na ja, (0) ist genau dann ein Primideal, wenn der Ring nullteilerfrei ist. Hat man das, so ist die Aussage natürlich trivial, im folgenden kann man also davon ausgehen, dass (0) kein Primideal ist.

Zu Zorn: dieses "maximale Elemente" ist nur eine Bezeichnung bezüglich der Halbordnung, die dort vorkommt. Letztlich ist es egal, ob man von "größer" oder "kleiner" spricht. Die Halbordnung ist hier halt " $\begin{eqnarray*} \supseteq \end{eqnarray*}$ ", das maximalen Element dann das minimale Primideal.

Gruß,
Reksilat.

26.04.2009, 17:44

C.Pistorius

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Hi Du,

erst einmal danke für Deine Antwort.

1) ah ok, kann ich vielleicht zeigen, dass jedes ideal in einem maximalen ideal enthalten ist .. jedes maximale ideal ist doch ein primideal oder?

2) meine idee war bisher zu zeigen, dass für jedes Primideal p $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ R gilt: es gibt p' $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ R sodass p' $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ p.

dazu würde ich eine menge A nehmen, $\begin{eqnarray*} A=\{p'\subseteq R; p'\subseteq p\} \end{eqnarray*}$

die Menge ist nicht leer, und hat durch $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ eine Teilordnung.

Ich hätte nun eine Kette K aus diesem A genommen und einen Schnitt über alle Ideale dieser Kette gemacht, das ist auf jedenfall ein Ideal, das kann man zeigen,...

$\begin{eqnarray*} \bigcap_{p' \in K} p' \end{eqnarray*}$

bin ich da auf einen richtigen weg und kann mir Zorn weiterhelfen?

LG und Danke

26.04.2009, 18:00

Mathespezialschüler

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Hallo!

Zitat:

Original von C.Pistorius
1) ah ok, kann ich vielleicht zeigen, dass jedes ideal in einem maximalen ideal enthalten ist ..

Jedes echte Ideal ist in einem Maximalideal enthalten. Das habt ihr doch sicher in der Vorlesung bewiesen oder? Das müsstest du dann natürlich nicht noch extra zeigen. Wichtig ist aber, wie man daraus folgert, dass mindestens ein Maximalideal existiert. Das folgt z.B. daraus, dass jeder Ring ein Nullideal besitzt und für dieses ein Maximalideal existieren muss, in dem das Nullideal enthalten ist.

Zitat:

Original von C.Pistorius
jedes maximale ideal ist doch ein primideal oder?

Ja:

Zitat:

Original von Reksilat
Bei der ersten Frage hilft es, wenn man weiß, dass maximale Ideale immer Primideale sind.

Zitat:

Original von C.Pistorius
2) meine idee war bisher zu zeigen, dass für jedes Primideal p $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ R gilt: es gibt p' $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ R sodass p' $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ p.

Damit hättest du nichts gewonnen. Diese Aussage ist außerdem trivial, denn sie gilt für $\begin{eqnarray*} p':=p \end{eqnarray*}$ . Mach es einfacher. Betrachte

$\begin{eqnarray*} A:=\{\mathfrak p\subseteq R\ |\ \mathfrak p\text{ ist ein Primideal}\} \end{eqnarray*}$ .

Warum ist diese Menge nichtleer? Und dann so weiter, wie du es auch machen wolltest. Wenn $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ eine Kette in $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist und du

$\begin{eqnarray*} \mathfrak p:=\bigcap_{\mathfrak q\in K}~\mathfrak q \end{eqnarray*}$

betrachtest, dann ist das wieder ein Ideal, das stimmt. Es ist aber auch ein Primideal. Zeige dafür: Aus $\begin{eqnarray*} a,b\notin\mathfrak p \end{eqnarray*}$ folgt auch $\begin{eqnarray*} ab\notin\mathfrak p \end{eqnarray*}$ .

Also ist $\begin{eqnarray*} \mathfrak p \end{eqnarray*}$ eine untere Schranke bezüglich der Ordnung $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ . Damit sind dann alle Voraussetzung für Zorn erfüllt und es muss ein minimales Element bezüglich der Ordnung $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ geben.

26.04.2009, 18:36

C.Pistorius

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Hi Du,

danke für den Tip, hört sich alles super an =)

Ich denke, damit ist die Sache gelöst!

Lg C.

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