Mengen im R^3 bzgl der Euklidischen Metrik

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stereo Auf diesen Beitrag antworten »
Mengen im R^3 bzgl der Euklidischen Metrik
Hallo, ich habe folgende Aufgabe zu erledigen und finde hier keinen Ansatz.

Welche der folgenden Mengen sind beschränkt und abgeschlossen bezüglich der euklidischen Metrik?

a)

Also mir fehlt ganz einfach der Anfang, in der Vorlesung hatten wir schonmal sowas - aber ich verstehe die Beweisführung nicht - für mich kommt das so vor als würde man das auf jedes Beispiel anwenden können.

Für die Konvergenz muss ich zeigen dass Komponenten konvergieren und wenn die Grenzwerte in der Menge enthalten sind, so ist sie auch abgeschlossen.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mengen im R^3 bzgl der Euklidischen Metrik
Zitat:
Original von stereo
Welche der folgenden Mengen sind beschränkt und abgeschlossen bezüglich der euklidischen Metrik?

a)

Also mir fehlt ganz einfach der Anfang, in der Vorlesung hatten wir schonmal sowas - aber ich verstehe die Beweisführung nicht - für mich kommt das so vor als würde man das auf jedes Beispiel anwenden können.

Für die Konvergenz muss ich zeigen dass Komponenten konvergieren und wenn die Grenzwerte in der Menge enthalten sind, so ist sie auch abgeschlossen.


Was wilst du denn plötzlich mit Konvergenz?

Es geht zunächst um Beschränktheit. Wie ist die definiert?
stereo Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Menge ist beschränkt, wenn sie nach oben und unten beschränkt ist. Das heißt es gibt ein Infimum und Supremum.

Ich vermute dass M beschränkt ist, da , Begründung ist, dass es sich um eine Metrik handelt.

Und die 1 beschränkt die Menge ja nach oben.

Bin mir aber sehr unsicher.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Beschränkt bedeutet doch anschaulich, daß alle Punkte der Menge in einem Würfel oder einer Kugel Platz haben, wenn er oder sie nur groß genug ist. Beachte die geraden Exponenten. Die sind hier für die Begründung entscheidend.
Und das mit stimmt nicht. So liegt zum Beispiel der Punkt in .
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von stereo
Eine Menge ist beschränkt, wenn sie nach oben und unten beschränkt ist. Das heißt es gibt ein Infimum und Supremum.


Das stimmt so nicht.

Es geht hier um die Beschränktheit einer Menge M bzgl. einer auf ihr definierten Metrik d. (Geht klar aus der Aufgabenstellung hervor).

Und dann ist die Beschränkt so definiert, dass M beschränkt ist, wenn existiert und endlich ist.
stereo Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo, danke für eure Hilfe.

Also diam(M) hatte ich noch nicht gehört. Das sollte aber der Radius der Kugel sein.

Ich sehe noch nicht den Zusammenhang mit der euklidischen Norm. M ist eine Menge im R^3.
Durch die euklidische Norm entsteht der metrische Raum (M,d_2) - oder sehe ich das grad falsch? Und weil die reelle zugeordnete Zahl immer stets positiv ist, dachte ich dass die x_i ´s auch positiv sind.

Ich finde keinen Anfang, Wikipedia hilft mir auch nicht so recht weiter. Kennt jemand von euch eine andere Seite, mit der ich die Zusammenhänge erlernen kann?
 
 
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Du hältst dich mit Nebensächlichkeiten auf. Daß dem Raum die euklidische Metrik zugrunde liegt, heißt doch nichts anderes, als daß in ihm Längen nach dem Satz des Pythagoras berechnet werden, also so, wie man das schon in der Schule macht. Das ist der ganz normale dreidimensionale Anschauungsraum, in dem du sicher einmal Abitur mit der Analytischen Geometrie gemacht hast. Und Beschränktheit bedeutet einfach, daß das Ding aufhört und sich nicht ins Unendliche erstreckt. So ist zum Beispiel eine Ebene unbeschränkt. Auch der Halbraum, der aus allen Punkten oberhalb der -Ebene besteht, ist unbeschränkt. Dagegen ist etwa ein Pyramidenkörper beschränkt. Und diese "Kartoffel" oder was auch immer dieses darstellt, ist auch beschränkt. Und das ist so einfach zu zeigen, und hat nichts mit tiefen topologischen Erkenntnissen zu tun.

Potenzen mit geraden Exponenten sind niemals negativ. Aus folgt also



Und weiter?
stereo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold

Potenzen mit geraden Exponenten sind niemals negativ. Aus folgt also



Und weiter?


Ich hab das Problem, dass ich ein Jahr zwischen Studium und Schule hatte (wie es so eigentlich normal ist). In der Schule war ich immer sehr gut, aber wie manche Sachen an der Uni erklärt werden ist so eine Sache. Jetzt wie du das gesagt hast, klingt das einfach.

Aus deinem Ansatz folgt:



Also sind x_1 , x_2 , x_3 beschränkt, was wiederrum heißt dass die Menge beschränkt ist.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Wobei du hier sehr gläubig warst und meinen Schreibfehler gleich mit übernommen hast. Augenzwinkern
Und die Betragsstriche gehören auch anderswo hin ...
stereo Auf diesen Beitrag antworten »

Ja da müsste ja strikt kleiner 1 hin. Jedoch ist die 1 glaub ich auch falsch. Ich schau mir das dann nochmal an, muss gleich mal weg

Danke für die Hilfe

edit:

Ich hatte grad die Idee zu es so ähnlich zu zeigen:



Da muss gelten:




Jetzt muss ich aber wirklich, stimmt das bis hier hin ? Man müsste jetzt nochmal zeigen dass die x_i sich in einem Intervall bewegen.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Mein Schreibfehler lag eigentlich bei den Hochzahlen. Und nein - man kann nicht z.B. auf schließen.
stereo Auf diesen Beitrag antworten »

Ehm ich sehe grad gar nicht mehr durch.

Warum gilt immer kleiner gleich 1? Wäre das so, und es tritt der Fall =1 ein. Dann steht dort

Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

stereo Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich habe jetzt 3 Intervalle:








Habe ich jetzt beides gezeigt? Beschränkt und abgeschlossen?
stereo Auf diesen Beitrag antworten »

Ok abgeschlossen habe ich noch nicht gezeigt.

Also M ist beschränkt.

Weiter gilt:





f ist stetig und

Jetzt weiß ich nicht weiter, ein Freund hatte mir gesagt, dass ich mit der topologischen Interpretation zeigen kann dass die Menge nicht abgeschlossen ist.

(Ich brauch endlich ein Ana II Lehrbuch Lesen1 )
stereo Auf diesen Beitrag antworten »

Kann niemand helfen, wie ich weiter zeigen kann, dass die Menge nicht abgeschlossen ist.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Dein ist als Polynom eine stetige Funktion nach . Wegen



ist abgeschlossen (denn die Urbilder abgeschlossener Mengen unter stetigen Funktionen sind wieder abgeschlossen).
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