Offener Kern, abgeschlossene Hülle, Rand

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Sabinee Auf diesen Beitrag antworten »
Offener Kern, abgeschlossene Hülle, Rand
Hallo,

es geht darum den offenen Kern, die abgeschlossene Hülle und den Rand folgender Mengen zu bestimmen:









Fangen wir bei an:










Stimmt das soweit?
Jetzt weiß ich nicht wie ich den Rand bestimmen soll und bräuchte da Hilfe und ob das was ich vorher gemacht habe richtig ist wäre auch gut zu wissen.

Vielen dank

Edit: Bei habe ich das Problem dass ich den Ausdruck in der Norm nicht verstehen. Da nimmt man die Differenz eines mit einer Zahl, aber wie soll das gehen?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

ist offen, also gleich seinem offenen Kern (in deiner Lösung fehlen die Normstriche). Bei müßte der offene Kern leer sein (beachte die Eindimensionalität des Funktionsgraphen), für die abgeschlossene Hülle kommen zum Funktionsgraphen noch die Punkte auf der -Achse mit und der rechte Randpunkt hinzu.
In der Definition von kann ich auch keinen Sinn erkennen. Vielleicht ein Druckfehler. Und bei ist natürlich wesentlich, daß dicht in liegt, aber total unzusammenhängend ist.
Sabinee Auf diesen Beitrag antworten »

Bei ist der Funktionsgraph: warum ist das der Grund dafür, dass der offene Kern leer ist?
Es muss doch folgen weil der Sinus alle Werte zwischen -1 und 1 annehmen kann.

Und daraus sollte doch folgen dass der offene Kern ist.
Also so ganz nachvollziehen konnte ich das nicht.

Wie gebe ich die abgeschlossene Hülle in Mengen an bei ?
Ich kann das nicht zu einer Menge zusammenfassen.

Danke
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Du mußt den Graphen selbst als Objekt betrachten (etwas Eindimensionales im zweidimensionalen Raum). Und der hat keine inneren Punkte. Denn wie klein auch immer der Kreis ist, den du um einen Graphenpunkt zeichnest, stets enthält der Kreis auch Punkte, die nicht auf dem Graphen liegen. Keine inneren Punkte heißt aber leerer Kern, denn der Kern besteht ja gerade aus den inneren Punkten.

Du solltest dir noch einmal deutlich die Definition der Begriffe "innerer Punkt", "Randpunkt", "Berührungspunkt", "Häufungspunkt" vor Augen führen.
Sabinee Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Offener Kern, abgeschlossene Hülle, Rand
Ahsoo ich bin einen riesen Schritt weiter was das Verständnis angeht, danke dafür.

Ist dann die abgeschlossene Hülle:

verwirrt

Weiß jetzt nicht ob hier die Punkte auf der y-Achse dabei wobei gilt, dass ist.
Den offenen Kern habe ich ja jetzt verstanden, aber wieso müssen denn alle Punkte der y-Achse mit mit in die Hülle, denn da gibt es doch Umgebungen die keinen Punkt vom Graphen enthalten.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Offener Kern, abgeschlossene Hülle, Rand
Zitat:
Original von Sabinee
verwirrt


Ich verstehe schon diese Formelsprache nicht. Was soll das bedeuten?

Hast du dir eigentlich den Graphen der Funktion schon einmal skizziert? Wenn nicht, solltest du das schleunigst tun. Ohne ihn geht nämlich nichts.
 
 
Sabinee Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Offener Kern, abgeschlossene Hülle, Rand


Hier ist der Graph, die Formelsprache sollte aussagen dass jeder Punkt des Graphen im zweidimensionalen Raum zur abgeschlossenen Hülle gehört.

Ich verstehe das alles nicht so ganz.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Die Frage, was zum Abschluß oder Rand einer Menge gehört, hängt ganz vom umgebenden Raum ab. Bei der zweiten Aufgabe ist daher entscheidend, ob es um als Teilmenge des topologischen Raumes oder als Teilmenge des topologischen Raumes geht. Ich bin bisher von der ersten Variante ausgegangen. Falls das anders ist, solltest du das unbedingt sagen, denn davon hängt alles Weitere ab.
Sabinee Auf diesen Beitrag antworten »

Die Mengen sind im .
Entschuldigung dass ich das vorher nicht gesagt habe.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Gut, das ist die naheliegendere Variante.

Beginnen wir mit dem einfacheren Teil.
Der Graph hat rechts kein Ende, denn gerade über der Stelle liegt ja kein Punkt mehr. Was ist aber nun, wenn du Kreise um den Punkt legst, wie klein auch immer diese sind?
Sabinee Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold

Der Graph hat rechts kein Ende, denn gerade über der Stelle liegt ja kein Punkt mehr. Was ist aber nun, wenn du Kreise um den Punkt legst, wie klein auch immer diese sind?


Da ist ein Berührungspunkt, denn in der Umgebung gibt es mindestens ein Punkt in und da die abgeschlossene Hülle die Menge aller Berührungspunkte ist, gehört dies mit zur abgeschlossenen Hülle, oder?

Habs editiert
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

So ist's (ich vermute, daß du mit eigentlich meinst; bitte nicht dauernd die Bezeichnungen ändern, das ist furchtbar verwirrend). Zugleich ist ein Randpunkt.

Und jetzt solltest du einfach einmal in Worten beschreiben, wie der Graph verläuft, wenn man langsam auf der -Achse nach links geht und der immer näher kommt.
Sabinee Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn man langsam auf der x-Achse nach links geht fängt der Graph an immer stärker zwischen 1 und -1 zu oszillieren.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

So ist's. Die Sinusbögen werden in West-Ost-Richtung immer schmaler, immer mehr und immer dichter und drängen sich vor einer unsichtbaren Mauer. Und was ist mit dieser Mauer?
Sabinee Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm jetzt bin ich mir wieder nicht ganz sicher, aber die Sinusbögen sind an der Mauer so dicht, dass es in jeder Umgebung von einem Punkt in der y-Achse von [-1,1], es mindestens ein Punkt gibt, welches in liegt und somit die y-Achse mit zur abgeschlossenen Hülle gehört.
Bin mir aber nicht sicher.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Aber genau so ist es. Zur abgeschlossenen Hülle gehören also







Und jetzt noch alles ordentlich in Mengenform aufschreiben und die drei Mengen vereinigen:
Sabinee Auf diesen Beitrag antworten »

Woow du hast mich super bis hierhin gebracht, aber wie soll ich die Mengen jetzt bloß aufschreiben verwirrt

Du hast ja eben selbst über meine Formelsprache gemeckert, deswegen weiß ich nicht ganz wie ich das aufschreiben soll.

Trotzdem riesengroßen dank bis hierhin erstmal, deine präzisen Fragen haben mir sehr geholfen so dass mein Verständnis größer geworden ist, nur weiß ich jetzt nicht wie ich die Mengen ordentlich aufschreiben soll.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Alle Objekte sind Elemente des , also vom Typ mit . Nehmen wir . Das ist nur ein Punkt. Mengenklammer drum herum - fertig!



Und bei kann man das so machen:



Versuch es doch einfach einmal.
Sabinee Auf diesen Beitrag antworten »

OK also:



So vielleicht?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Geht doch! Freude

Beim letzten Glied könnte man die Bedingung auch schon bei der Angabe des Elementetyps unterbringen:



Man könnte das auch als kartesisches Produkt schreiben:



Und erfahrene Mathematiker erlauben sich auch die folgende Schreibweise:



Das ist zwar nicht korrekt, denn man kann das kartesische Produkt nur zwischen Mengen bilden. Aber da jeder weiß, was gemeint ist, drückt man hier der Bequemlichkeit halber beide Augen zu.
Sabinee Auf diesen Beitrag antworten »

Einfach nur riesengroßen dank an dich Leopold, du hast alles aus mir rausgeholt. Das war eine pädagogische Glanzleistung.

Danke
Sabinee Auf diesen Beitrag antworten »

Wie sieht das denn mit der 4ten Menge aus?
Da Q dicht in R liegt sollte der offene Kern doch wieder leer sein oder?
Bei der abgeschlossenen Hülle bin ich wiederum überfragt.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Beim ersten Glied der Vereinigung fällt mir ein kleiner Fehler auf. Es muß natürlich



heißen.


Zur neuen Frage:

Denke dir um irgendeinen Punkt des Einheitsquadrates, egal ob er rationale oder irrationale Koordinaten oder gemischte hat, einen kleinen Kreis gezeichnet. Enthält nun dieser Kreis Punkte, die für uns von Interesse sind? Und wenn der Kreis noch kleiner ist?

Den offenen Kern hast du richtig bestimmt, die Begründung aber taugt nicht. So liegt ja zum Beispiel dicht in , aber der offene Kern von ist ja keineswegs leer, sondern selbst.
Schau dir noch einmal die Definition eines "inneren Punktes" an und suche zur Bestimmung des offenen Kerns die inneren Punkte von .
Sabinee Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold

Zur neuen Frage:

Denke dir um irgendeinen Punkt des Einheitsquadrates, egal ob er rationale oder irrationale Koordinaten oder gemischte hat, einen kleinen Kreis gezeichnet. Enthält nun dieser Kreis Punkte, die für uns von Interesse sind? Und wenn der Kreis noch kleiner ist?


Egal wie klein der Kreis ist, wir finden in seiner Umgebung mindestens einen Punkt dass rationale Koordinaten hat womit der gesamte Einheitskreis die abgeschlossene Hülle und gleichzeitig auch der Rand ist, weil es in der Umgebung auch immer einen Punkt gibt, welches irrationale Koordinaten hat.

Ist das richtig?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Von grammatischen Fehlern im Deutschen abgesehen (und wenn man übersieht, daß du das Einheitsquadrat großzügig zum Einheitskreis gemacht hast Big Laugh ) ist das richtig.

Und der offene Kern? (Das hast du ja indirekt schon gesagt.)
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