Gleichungssystem mit unendlicher Lösungsmenge?

25.04.2009, 09:49

Vielnix

Gleichungssystem mit unendlicher Lösungsmenge?

Hi,

in folgender Aufgabe geht es um lineare Gleichungssysteme. Sie lautet:

Verlängert man bei einem rechtwinkligen Dreieck die dem rechten Winkel anliegenden Seiten um je 2 cm, vergrößert sich der Flächeninhalt um 14cm^2. Verkürzt man sie dagegen um 2 cm, so mindert sich der Flächeninhalt um 10 cm^2. Berechne die Länge der dem rechten Winkel anliegenden Seiten.

Dazu habe ich die Gleichungen wie folgt aufgestellt:

$\begin{eqnarray*} \frac{(x+2)(y+2)}{2} = \frac{xy}{2} +14 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{(x-2)(y-2)}{2} = \frac{xy}{2} -10 \end{eqnarray*}$

Nach der Auflösung der Klammern und Vereinfachung ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} x + y = 12 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -x-y=-12 \end{eqnarray*}$

Addiert man die beiden Gleichungen, erhält man

$\begin{eqnarray*} 0=0 \end{eqnarray*}$

also eine wahre Aussage.

Durch Ausprobieren habe ich herausgefunden, dass jedes Zahlenpaar - in den Grenzen 2 bis 10 -, das zusammengezählt 12 ergibt, eine richtige Lösung ergibt. Es gibt also unendlich viele Lösungen.

Jetzt die Frage:
Ist das die logische Schlussfolgerung daraus, dass die beiden Gleichungen identisch sind, sie also aufeinander liegen und es somit unendlich viele Lösungen gibt?
Und wie berechnet und formuliert man die einschränkende Bedingung?

Dank und Gruß

Frank

25.04.2009, 12:49

klarsoweit

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RE: Gleichungssystem mit unendlicher Lösungsmenge?

Zitat:

Original von Vielnix
Ist das die logische Schlussfolgerung daraus, dass die beiden Gleichungen identisch sind, sie also aufeinander liegen und es somit unendlich viele Lösungen gibt?

Ja.

Zitat:

Original von Vielnix
Und wie berechnet und formuliert man die einschränkende Bedingung?

Man gibt die Lösungsmenge einfach so an: $\begin{eqnarray*} \mathbb L = \{(x, y) | x+y=12, x,y > 0 \} \end{eqnarray*}$ smile

25.04.2009, 13:45

Vielnix

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Vielen Dank. Freude

25.04.2009, 14:04

Bjoern1982

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Beachte jedoch dass deine beiden identischen Gleichungen nichts mehr mit den Gleichungen oben zu tun haben und das alles insofern auch nichts mit der Lösung der Aufgabe zu tun hat.

25.04.2009, 15:30

mYthos

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RE: Gleichungssystem mit unendlicher Lösungsmenge?
@Björn: Nicht ganz.

Die Lösungsmenge

$\begin{eqnarray*} \mathbb L = \{(x, y) | x+y=12, x,y > 2 \} \end{eqnarray*}$

beschreibt genau auch alle in Frage kommenden Dreiecke, sie erzeugt somit auch einen realen Bezug zu der Textaufgabe.

Noch ausführlicher: $\begin{eqnarray*} \mathbb L = \{(x, y) | x + y = 12, \ \ 2 < x,y < 10 \} \end{eqnarray*}$

mY+

25.04.2009, 21:17

Vielnix

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Zitat:

Original von Bjoern1982
Beachte jedoch dass deine beiden identischen Gleichungen nichts mehr mit den Gleichungen oben zu tun haben und das alles insofern auch nichts mit der Lösung der Aufgabe zu tun hat.

Kannst du diese Aussage etwas näher erläutern?

26.04.2009, 00:28

Bjoern1982

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Tut mir leid, habe das im Kopf falsch gerechnet, passt schon so Augenzwinkern

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