Integrieren über eine Kreisscheibe

25.04.2009, 14:42

speedyschmidt

Integrieren über eine Kreisscheibe

Hallo, ihr da draußen Wink

Habe leider noch nicht wirklich Übung beim Lösen von solchen Integralen:

$\begin{eqnarray*} \int_{\partial B_2(0)}~\frac{e^z}{(z+1)\cdot (z-3)^2}~dx \end{eqnarray*}$ .

Es soll also auf dem Rande der Kreisscheibe um Null mit dem Radius 2 integriert werden.

Ich denke mal, dass der Wert nicht 0 sein kann, weil ich um -1 herumintegriere, richtig?

Setze ich nun $\begin{eqnarray*} c(t)= 2e^{2\pi it} \end{eqnarray*}$ , so erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} \int_{\partial B_2(0)}~\frac{e^z}{(z+1)\cdot (z-3)^2}~dz=\int_{0}^{1}~\frac{e^{2e^{2\pi it}}\cdot 4\cdot 2\pi i\cdot e^{2\pi it}}{(2e^{2\pi it}+1)\cdot (2e^{2\pi it}-3)^2}~dt \end{eqnarray*}$

So weit, so gut, aber wenn ich jetzt zum beispiel $\begin{eqnarray*} r=2e^{2\pi it}+1 \end{eqnarray*}$ substituieren möchte, läuft mein Integral von 1 bis 1 :-D
Also kann das so nicht klappen (wieso nicht?)
Was kann ich also tun, um das Integral zu lösen? Muss ich einen anderen weg wählen? Und wenn ja, welche kriterien sollte der erfüllen?

Dankeschön schonmal :-)

Edit: ich kann ja den Weg auch ein wenig umbauen, solange ich nciht in die "Nähe" von 3 und -1 komme, wie kann ich das geschickt tun?

25.04.2009, 15:02

Leopold

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Hattet ihr den Cauchyschen Integralsatz, die Cauchysche Integralform oder den Residuensatz noch nicht?

25.04.2009, 15:04

speedyschmidt

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RE: Integrieren über eine Kreisscheibe
die ersten beiden auf jeden Fall, den 3. leider nicht

Sry, das bringt mich wohl nicht weiter :-((

25.04.2009, 16:54

speedyschmidt

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Ok danke nochmal :-D
Habe Wald vor lauter Bäumen nicht gesehen und leider den falschen Satz probiert :-)

Wunderbar, danke danke

25.04.2009, 17:02

Leopold

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RE: Integrieren über eine Kreisscheibe

Zitat:

Original von speedyschmidt
Sry, das bringt mich wohl nicht weiter :-((

Warum so schnell aufgeben? Genau das bringt dich hier weiter. Wende die Cauchysche Integralformel

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2 \pi \operatorname{i}} \int_{\gamma} \frac{f(z)}{z - z_0}~\dd z = f(z_0) \end{eqnarray*}$

auf $\begin{eqnarray*} f(z) = \frac{\operatorname{e}^z}{(z-3)^2} \end{eqnarray*}$ an. Was ist wohl $\begin{eqnarray*} z_0 \end{eqnarray*}$ ? Überprüfe, ob alle Voraussetzungen für die Anwendbarkeit der Formel vorliegen.

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