Frage zu C-Vektorraum C^3

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TommyAngelo Auf diesen Beitrag antworten »
Frage zu C-Vektorraum C^3
Wie schaut denn der Vektor (1,0,1) aus dem C-Vektorraum C^3 bzgl. Real- und Imaginärteil aus? Wie soll man sich das vorstellen?
Als (1+i, 0, 1+i)?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Jede reelle Zahl ist auch eine komplexe Zahl mit Imaginärteil gleich 0. Das heisst für Deinen Vektor

(1 + 0i, 0 + 0i, 1 + 0i) und da man in der Regel die 0 einfach weglässt bei Summen ist und bleibt der Vektor (1,0,1).
TommyAngelo Auf diesen Beitrag antworten »

Ach so, ich hab mir nämlich gedacht, dass ja die Basis 1+i ist, so wie für die reellen Zahlen die 1 und dann halt eben die Koordinate 1 bzgl. der Basis, also 1*(1+i).

Meine Frage ist halt, was die Basis einmal vom C-Vektorraum C und einmal vom R-Vektorraum C ist.
{1+i} bzw. {1,i} ?
Cordovan Auf diesen Beitrag antworten »

Betrachtest du C als C-Vektorraum, dann kommen die Skalare aus den komplexen Zahlen. Der Raum hat Dimension 1 und als Basisvektor kannst du eine beliebige von Null verschiedene Zahl nehmen; zum Beispiel 1+i oder auch einfach 1.

Nimmst du C als 2-dimensionalen R-Vektorraum, kommen die Skalare aus R. Du brauchst dann zwei R-linear unabhängige Vektoren, um den Raum aufzuspannen. Also zum Beispiel eine reelle Zahl und eine imaginäre Zahl.

Cordovan
TommyAngelo Auf diesen Beitrag antworten »

Warum kann ich denn als Basisvektor für C als C-Vektorraum die 1 nehmen?
Dass es ein 1-dimensionaler Vektorraum ist, habe ich verstanden.
Aber warum geht die 1? Die 1 spannt doch nur R auf. Wie willst du denn durch Linearkombination von 1=1+0i auf 5+2i kommen?
sqrt4 Auf diesen Beitrag antworten »

Also ist mir zu kompliziert. Aber du kommst z.B. mit

auf die imaginäre Einheit i. Beachte, dass es ein C-Vektorraum und kein R-Vektorraum ist!
 
 
TommyAngelo Auf diesen Beitrag antworten »

D.h. allgemein, wenn ich ein K-Vektorraum K, sprich mit Dimension 1, habe, dann ist die Basis einfach irgendein Element aus K?
Cordovan Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, nicht ganz; du kannst zum Beispiel für den R-Vektorraum R nicht die Basis 0 nehmen. Klaro?

Cordovan
TommyAngelo Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, stimmt.

Kurze Frage, um zu sehen, ob ichs einigermaßen verstanden hab:

Ich hab 2 Vektoren gegeben: (1,0,1) und (1,-1,0)

und soll die jetzt zu einer Basis des C-Vektorraums C^3 und zu einer Basis des R-Vektorraums C^3 ergänzen.

Im ersten Fall würde jetzt als 3. Vektor (1,0,0) gehen, im zweiten bräuchte ich z.B. (i,i,i). Stimmt das?

Hm ich merk grad, dass das irgendwie nicht so ganz hinhaut.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Die Basis für den -Vektorraum ist in Ordnung, denn das sind drei linear unabhängige Vektoren.
Für den -Vektorraum brauchst du offenbar 6 Basisvektoren.
TommyAngelo Auf diesen Beitrag antworten »

Also dann die ersten drei linear unabhängigen und dann noch (i,0,0), (0,i,0), (0,0,i)
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

JA, Freude weil alle 6 Vektoren linear unabhängig sind. Ich hab's nachgeprüft, du auch ? smile
TommyAngelo Auf diesen Beitrag antworten »

In R schon, in C nicht.

Wenn ich ja auf lineare Unabhängigkeit testen will, schreib ich die Vektoren in eine Matrix, die Spalten bezeichne ich mal als a,b,c,d,e,f und rechts eben den Nullvektor. Nun ist es ja so, dass irgendwo dann folgendes auftritt:
c + if = 0
Damit hätte man mindestens einen Freiheitsgrad, genauer gesagt 3, weil es eine 3x6-Matrix mit Rang 3 ist, d.h. man kann 3 Vektoren weglassen. So gilt es für C. Aber für R müssen die Koeffizienten aus R sein. Deswegen hat man mit c+if=0 keinen Freiheitsgrad usw. und die 6 Vektoren müssen bleiben.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst die Vektoren auch ein bißchen anders schreiben, da sie ja Basisvektoren in einem 6-dimensionalen reellen Vektorraum sein sollen. Ich schlage vor z.B. (1,0,1,0,0,0) und (0,0,0,i,0,0) sollten dazugehören.
Jetzt alle 6 aufschreiben, dann siehst du die lineare Unabhängigkeit sofort.
TommyAngelo Auf diesen Beitrag antworten »

Dein Vorschlag sind jetzt 6 Einträge pro Vektor. Aber nur weil die Dimension 6 ist, muss es doch nicht heißen, dass man auch 6 Einträge braucht, sondern, dass es 6 linear unabhängige Vektoren gibt. Und wie will man den Vektor (i,0,0) durch Linearkombination von (1,0,0), (0,1,0) und (0,0,1) darstellen, wenn die Skalare (Koeffizienten) aus R sein müssen? In C kein Problem, einfach i-mal der 1. Vektor.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast vermutlich recht, ich muß nochmal darüber nachdenken, was genau ein solcher Vektor ist.
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