Produktionsfunktion - Änderung der Grenzproduktivität |
| 25.04.2009, 13:35 | soma | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Produktionsfunktion - Änderung der Grenzproduktivität ich hab mal wieder ein kleines Mathematik Problem. Es geht um die Cobb-Douglas-Produktionsfunktion: Y(K,L) = A * K^0,3 * L^0,7 Dabei ist A eine positive Konstante, wir betrachten die partielle Ableitung nach K (Kapital), da der Arbeitseinsatz L fixiert ist. Zunächst wurde die Frage nach der 1. und 2. Ableitung und dem Vorzeichen dieser Ableitungen gestellt. Diese sollten meiner Meinung nach so aussehen: Y(K,L)' = A * 0,3K^-0,7 * L^0,7 --> positives Vorzeichen (A, K und L sollte ja positiv sein) Y(K,L)'' = A * -0,21K^-1,7 * L^0,7 --> negatives Vorzeichen Die erste Ableitung der Funktion ( Y(K,L)' ) kann man dabei als Grenzproduktivität des Kapitals bezeichnen. Es wird jetzt folgende Frage gestellt: Was bedeuten diese beiden Vorzeichen (also die Vorzeichen der beiden Ableitungen von gerade eben) für die Änderung der Grenzproduktivität des Kapitals bei zunehmendem Kapital K? Ich hab dazu auch schon ein paar Überlegungen angestellt, bin mir aber nicht ganz sicher. Zunächst brauchen wir für die Änderung der Grenzproduktivität die Steigung der Grenzproduktivität. Die Steigung ist die erste Ableitung der Grenzproduktivität, also die zweite Ableitung der Produktionsfunktion ( Y(K,L)'' ). Diese zweite Ableitung hat ein negatives Vorzeichen. Das bedeutet ja grundsätzlich, dass die Grenzproduktivität mit zunehmendem K sinkt (negative Steigung), was ja auch logisch ist. Jetzt bin ich mir aber nicht sicher, ob das schon die Antwort auf die Frage ist, oder ob mit der Änderung der Grenzproduktivität gemeint ist ob diese Steigung zu oder abnimmt. Bräuchte ich dann die 2. Ableitung der Grenzproduktivität (also die 3. Ableitung der Produktionsfunktion)? Diese hätte ja wieder ein positives Vorzeichen. Heißt das dann, dass die Steigung der Grenzproduktivität größer wird? Das ist irgendwie komisch, weil ich habe die Funktionen gezeichnet und die Steigung der Grenzproduktivität ist mir so vorgekommen also würde diese immer weniger (die Kurve also flacher) werden. 
Bin gerade ziemlich verwirrt, vielleicht kann mir da jemand weiterhelfen...?Danke schonmal, soma |
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| 26.04.2009, 09:36 | Abakus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Produktionsfunktion - Änderung der Grenzproduktivität Mal eine Zeichnung (hier aus Massstabsgründen die zweite Ableitung ohne neg. Vorzeichen eingezeichnet): Ich denke, du solltest in deinen Überlegungen zusätzlich die Grenzwerte für K gegen Unendlich berücksichtigen. Grüße Abakus 
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| 26.04.2009, 17:24 | soma | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hm, irgendwie kapier ichs trotzdem noch nicht. Ich sehe, dass die Änderung der Grenzproduktivität immer geringer wird, schaut zumindest in der Grafik so aus. Andererseits ist die 2. Ableitung der Grenzproduktivität (3. Ableitung der Produktionsfunktion) wieder ein positives Vorzeichen. In meinen Unterlagen sehe ich, dass das Vorzeichen der 2. Ableitung einer Funktion aussagt, ob die Steigung der Funktion (erste Ableitung) größer (positiv) oder kleiner (negativ) wird. Das würde aber heißen, dass die Änderung der Grenzproduktivität mit zunehmendem K größer wird, wenn ich mir die Kurve ansehe schaut das aber gar nicht so aus... |
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| 26.04.2009, 20:44 | Abakus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Jetzt habe ich dich mit der Skizze verwirrt. Die zweite Ableitung ist negativ, ich habe nur das negative Vorzeichen oben weggelassen, damit man mehr sieht (siehe die Überschrift dazu). Hier nochmal anders: Grüße Abakus
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| 27.04.2009, 17:06 | soma | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Okay, weil die zweite Ableitung negativ ist und sich 0 annähert wird der Funktionswert quasi immer größer. Was auch damit zusammenpasst, dass die dritte Ableitung positiv ist. Das einzige was ich noch nicht ganz kapiert habe ist die erste Ableitung, also die Grenzproduktivität (güne Linie). Wenn ich mir diese ansehe, dann ist bei kleinem K die Änderung des Funktionswertes bei einer Änderung von K sehr groß. Bei größerem K wird diese Änderung immer kleiner, die Kurve also flacher. Wenn die Kurve flacher ist, hätte ich gesagt, dass die Steigung geringer ist. Oder ist das ganz einfach deshalb, weil die Steigung negativ ist? Man hat also zuerst eine sehr große negative Steigung (also eine sehr kleine Zahl) und danach eine sehr kleine negative Steigung (also eine größere Zahl knapp unter 0). Kann man dann sagen, dass die Steigung größer wird? Oder liege ich da jetzt komplett daneben? |
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| 27.04.2009, 19:16 | Abakus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Versuche dich einmal an den Begriffen (streng) monoton steigend/fallend und ggf (streng) konkav/konvex. Entsprechende Sätze kennst du vielleicht noch. Die Grenzproduktivität ist streng monoton fallend, und zwar asymtotisch gegen 0. Dh. dass der absolute Zuwachs von Y bei steigendem K immer kleiner wird, ja. Wenn du allerdings hier relative Änderungen betrachtest, so gilt: erhöhst du K um x% (x ziemlich klein), so erhöht sich Y etwa um 0.3 * x %. Das ist in der Aufgabe dann allerdings nicht gefragt. Grüße Abakus
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| 27.04.2009, 20:15 | soma | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vielen Dank für deine Hilfe! Liebe Grüße, soma |
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