Implizite Integration |
13.09.2006, 21:18 | Lazarus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||||
Implizite Integration Ich sitz hier vor einem Problem und ich komm einfach nicht auf die Lösung. Bin wahrscheinlich bisschen betriebsblind, seid also ein bisschen nachsichtig, wenn ich nur Tomaten auf den Augen hab. Ich wähle deshalb mal ein besonders leichtes Beispiel: Sei eine Funktion gegeben durch: (1) Sowie eine Stammfunktion von durch (2) Wenn man nun die Funktionsgleichung (1) nach ableitet erhält man: Wenn man nun mithilfe von (2) vereinfacht erhält man folgendes: Wenn man das nun mit multipliziert erhält man folgendes: was man ja ganz leicht nach integrieren kann und dann richtigerweise erhält. Zwei Sachen sind mir nicht ganz klar: 1) Wieso darf man die Gleichung (1) einfach nach ableiten und erhält dann trotzdem nach einmaliger Integration gleich eine Stammfunktion ? Wenn man Ableitet und dann anschliessend Integriert müsste sich das doch eigentlich aufheben, oder nicht ? Natürlich wird nach abgeleitet und nach integriert, doch das führt gleich zur nächsten Frage: 2) Wie kann denn nach abgelietet werden mit als Stammfunktion zu ? Oder allgemeiner: Wie sieht denn geometrische die Ableitung einer Funktion nach ihrer Stammfunktion aus ? Ich mein, dass eine Funktion nach einer Abhänigen Variablen als deren Steigung gedeutet werden kann ist mir natürlich klar, aber sozusagen in die andere Richtung ? Bitte um klären... bin momentan ein bisschen verwirrt |
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13.09.2006, 21:46 | Abakus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||||
RE: Implizite Integration
Ich bleib hier stecken. Also f ist eine konstante Funktion, die jedem x die Funktion p zuordnet und die ist wieder gleich x ? Ich verstehe es bestimmt falsch, was meinst du genau ? Grüße Abakus |
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13.09.2006, 21:48 | Lazarus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||||
Nein. die Funktion soll eine lineare Funktion mit der Steigung 1 durch den Ursprung sein. Bildlich also |
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13.09.2006, 22:43 | Abakus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||||
RE: Implizite Integration
Ja, das gilt einfach, weil in diesem speziellen Fall dx = dp gilt.
Eigentlich ist das eher kritisch. Wenn du beide Seiten nach y ableiten willst, sollten beide Seiten auch eine Funktion von y sein. Diese müssten erstmal hingeschrieben werden. Wenn du einfach mit Differentialen rechnest, ist es jedoch einfach zu sehen: wenn dx = dp ist, kannst du natürlich beide Seiten durch dy teilen.
Ja. Bis auf eine Konstante ggf.
Formal indem du p als Funktion von y schreibst. Dazu musst du ein paar Gleichungen umstellen.
Formal kannst du nur nach Variablen ableiten. Im Prinzip hast du aber (geeignete Voraussetzungen angenommen): Grüße Abakus |
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14.09.2006, 14:25 | Lazarus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||||
Nein ich geb dir unten ein Beispiel wo das nicht gilt, und die Technik trotzdem funktioniert!
Ja. mhh.. ok.. Wenn nur dadurch geteilt würde, erklärt sich, warum durch Integration der abgeleiteten Gleichung eine Stammfunktion und nicht die Ursprungsgleichung ergibt.
Ok und wieso ist das hier (und allgemein bei diesem Verfahren siehe unten) nicht der Fall ?
Meinst du mit zu eine Differentialgleichung bringen? Könntest du mir da ein Beispiel geben oder das genauer erklären ?
Das bedeutet ja So und nun zu dem versprochen anderen Beispiel: Sei wieder eine Stammfunktion zu Desweiteren sei implizit definiert durch Man könnte natürlich schnell umformen und die explizite Darstellung finden: Da Stammfunktion is, gilt Aber zu Beispielszwecken wollen wir das nicht, sondern betrachten es weiterhin implizit. die Funktionsdefinition von p wird also abgeleitet nach y. ich schreib dir Umformungen gleich mit hin. Also nach allen Umformungen: , Die Gleichung wird jetzt wieder mit multipliziert, und man erhält: Die kann natürlich nun wieder leicht integriert werden und man erhält Wenn man nun da einsetzt erhält man, was für ein Wunder, das gleiche wie oben durch das explizite integrieren. Servus |
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15.09.2006, 13:52 | Gast mit ähnlichem Problem | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||||
Gott zum Gruße! Bin durch Zufall hierrauf gestoßen. Ich bin sehr an der Lösung der Problems interessiert, wäre also schön wenn da noch was käme. Ich werde auf jedenfall den Thread weiter im Auge behalten. Gruß. |
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16.09.2006, 18:06 | Lazarus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||||
*push* Die Frage steht noch im Raum, kann keiner Helfen ? gibt ja anscheinend mehr Interesse daran. |
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17.09.2006, 10:49 | Abakus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||||
Du hast: und Daraus ergibt sich sofort: Das kannst du auch klassisch ausrechnen, was ich mit "ein paar Gleichungen umstellen" meinte: Es ist und demnach Daher weiterhin: Dieses letztendlich noch abgeleitet: Grüße Abakus |
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20.09.2006, 23:04 | Lazarus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||||
So ähnlich bin ich ja darauf gestoßen. Ich häng die Herleitung mal als PDF-Link an [Hier auf Rapidshare]. Die Probleme die ich damit hab stehen unten (im PDF) beschrieben. Vielen Dank erstmal, Abakus, für deine Bemühungen!! Ich hoffe ich habs bald verstanden und muss dich damit nichtmehr belästigen! PS: hab auch schon andere (im RL) um Hilfe gebeten (z.b. einen von den IMO-Leute oder meinen Mathelehrer) Falls ich mit denen zu einer Lösung komme poste ich die natürlich hier ! |
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12.10.2006, 23:11 | Lazarus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||||
Da das PDF auf Rapidshare gelöscht wurde hab ichs hier nochmal angehängt. Mein Mathelehrer konnte mir übrigends nicht helfen |
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12.10.2006, 23:17 | Lazarus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||||
Hier nochmal im wesentlichen die offenen Fragen: (siehe auch PDF unten)
Besonders 2teres finde ich recht interessant und würde mir evtl. im Verständniss helfen selber den Rest zu verstehn. Die Rechenweise hab ich ja mit Abakus schon diskutiert,aber wie könnte man das beweisen ? |
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12.10.2006, 23:46 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||||
Verschoben Hallo Lazarus! Ich weiß nicht, inwiefern jetzt schon Fragen komplett oder nur teilweise beantwortet wurden und welche noch vollkommen offen sind. Deswegen werd ich einfach mal losschreiben ... Ich beziehe mich auf die Bezeichungen im pdf-File. Abakus hat ja im Prinzip schon eine Erklärung mithilfe von Differentialen gegeben. Und er hat gesagt, dass man für eine andere Erklärung erstmal eine klare Abhängigkeit hinschreiben müsste. Es ist ja klar, dass durch auf jeden Fall in irgendeiner Weise von abhängt. Die Frage ist eben nur, wie die Abhängigkeit aussieht. Aber da eine Abhängigkeit vorhanden ist, kannst du auch nach ableiten. Vielleicht hast du schon einmal vom Differentialoperator gehört. Dieser ordnet einer differenzierbaren Funktion ihre Ableitung zu: . Damit kannst du im Prinzip diese Abhängigkeit darstellen: . Allerdings ist jetzt keine Funktion mehr, die einer reellen Zahl wieder eine reelle Zahl zuordnet, sondern eine Abbildung, die jeder differenzierbaren Funktion eine Funktion zuordnet. Das ist dann quasi eine höhere Ebene und wie das da mit Ableiten funktioniert, weiß ich selbst leider nicht. Andersrum ist diese Darstellung etwas bekannter als oben mit dem Differentialoperator. Nehmen wir mal an, wir wollten nach ableiten. Wir wissen, dass eine Stammfunktion von ist. Wenn integrierbar ist, dann gibt es eine Darstellung . Hier hängt der Funktionswert von und ab. Aber die Funktion ist natürlich durch und vollständig gegeben. Man hat also eine eindeutige Abhängigkeit. Ich glaube, unter bestimmten Voraussetzungen darfst du sogar nach ableiten, indem du "unterm Integral ableitest". Ähnlich ist es andersrum, wenn du nach abeiten möchtest, nur dass ich dir da keine solche Darstellung geben kann, außer der mit dem Differentialoperator. Gruß MSS |
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13.10.2006, 00:07 | Lazarus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||||
Ja ich glaub ich kann dir folgen. Muss mir das aber noch genauer durch den Kopf gehen lassen (wofür es jetzt schon zu spät nachts ist). [-> falls möglich morgen] Wegen dem Diff.Operator: habsch noch nie gesehn so aber das hier gefunden: http://mathworld.wolfram.com/DifferentialOperator.html (1) und das hier (2) Meinst du das nur als Andere schreibweise für d/dx oder is das was ganz anderes ? Das mit der Gegenseitigen Darstellung hab ich aber verstanden. danke dir schonmal, bei neuen Einfällen kannst du gerne jederzeit schreiben. |
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13.10.2006, 00:49 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||||
Jap, ist also ein Operator und ist eben nur eine andere Schreibweise für und . Gruß MSS |
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