Euler-Verfahren

25.04.2009, 17:51	n!	Auf diesen Beitrag antworten »
Euler-Verfahren Hallo zusammen, Gegeben ist die DGL $\begin{eqnarray} \frac{dx}{dt}=-x \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x(0)=1 \end{eqnarray}$ welches ja die Lösung $\begin{eqnarray} x(t)=e^{-t} \end{eqnarray}$ besitzt. Nun soll das Euler-Verfahren benutzt werden. Frage ist: Wie groß muss die Schrittweite sein, damit $\begin{eqnarray} \|x_n-x(1)\|\leq 10^{-k} \end{eqnarray}$ gilt, wobei n=1/h Euler-Verfahren angewandt: $\begin{eqnarray} x_{n+1}=x_n(1-h) \end{eqnarray}$ Also: $\begin{eqnarray} x_n=(1-h)^n \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} x_n=(1-\frac{1}{n})^n \end{eqnarray}$ Es gilt doch: $\begin{eqnarray} (1-\frac{1}{n})^n\leq \sum_{l=0}^n~ \frac{(-1)^l}{l!} \end{eqnarray}$ Mithilfe der Restgliedabschätzung der Exponentialreihe würde ich folgern: $\begin{eqnarray} \|x_n-x(1)\|\leq\| \sum_{l=0}^n~ \frac{(-1)^l}{l!}-\sum_{l=0}^\infty~ \frac{(-1)^l}{l!}\|=\|\sum_{l=n+1}^\infty~\frac{(-1)^l}{l!}\|\leq \frac{2}{(n+1)!}\leq \frac{2}{n} \end{eqnarray}$ Also: $\begin{eqnarray} n\geq 2\cdot 10^k \end{eqnarray}$ Für k=2 soll dies gestestet werden. Dann käme man aber auf h=1/200 und das würde mit dem absoluten Fehler aber nicht hinkommen. Wo könnte der Fehler nun sein? Gruß

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