Partielle Integration

25.04.2009, 19:42	water	Auf diesen Beitrag antworten »
Partielle Integration sers zusammen ^^.. ich bräuchte hilfe. ich habe die formel $\begin{eqnarray} \int_{ }^{ }~e^{ax}~cos(bx)~dx \end{eqnarray}$ soa.. hab dann partiell integriert, egrebniss ist $\begin{eqnarray} \frac{1}{b} sin(bx) e^{ax} - \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int_{}^{}\frac{1}{b}sin(bx) e^{ax}~dx \end{eqnarray}$ so und jetz wirds ruckelig. bei der partiellen integration von $\begin{eqnarray} \int_{}^{}\frac{1}{b}sin(bx) e^{ax}~dx \end{eqnarray}$ komm ich einfach nicht auf das ergebniss.. bei meinem ersten versuch, habe ich $\begin{eqnarray} \frac{1}{b} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \frac{a}{1} \end{eqnarray}$ rausgezogen, und als $\begin{eqnarray} \frac{a}{b} \end{eqnarray}$ "rausgezogen", und vorm integral geschoben. das ergebniss war zwar, dass ich das anfangsintegral bei der zweiten partiellen integration wieder hatte. dann hab ichs auf "die ander" seite geholt, mal die ganze gleichung durch $\begin{eqnarray} \frac{1-b}{a} \end{eqnarray}$ geteilt in der hoffnung, dass was rauskommt. naja, "etwas" ists auch, aber bei weitem alles was richtig sein könnte.. hab jetzt bei den lösungen nachgegugt, und da soll die partielle integration von $\begin{eqnarray} \int_{}^{}\frac{1}{b}sin(bx) e^{ax}~dx \end{eqnarray}$ etwas ergeben wie $\begin{eqnarray} \left(\frac{a}{b}(-\frac{1}{b}) cos(bx) e^{ax}\right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} - \frac{a²}{b²} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int_{ }^{ }e^{ax}cos(bx)~dx \end{eqnarray}$ und ich habe keine idee wie man da gezaubert hat.. meine eigendliche vorgehensweise wäre, dass ich das a/1 und das 1/b rausklammer, und so ein a/b draus mache welches ich vorm integral schreiben kann. da im ergebnis ein -cos steht, schließ ich drauf dass ich die sinus funktion aufleiten muss. gibt dann -(1/b)sin. kay, seh ich auch, passt dann auch. ABER wenn ich e^ax ableiten, dass gibt wieder ein ae^ax. daraus könnt ich dann ein -a/b wieder machen. in der lösung steht aber a/b -(1/b). woher kommt das zweite b?! a²/b² vorm integral? woher? habe ich irgendwo falsch abgeleitet, oder was gemacht was man nicht darf?! ich wäre dankbar für alles ^^...
25.04.2009, 20:44	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Nach der zweiten partiellen Integration erscheint auf der rechten Seite tatsächlich wieder das (zu berechnende) Anfangsintegral, allerdings verknüpft mit dem Faktor $\begin{eqnarray} -\frac{b^2}{a^2} \end{eqnarray}$ . Somit ist dann $\begin{eqnarray} (1 + \frac{b^2}{a^2}) \int~e^{ax} \cos (bx)~dx = \frac{1}{a}e^{ax} \cos (bx) + \frac{b}{a^2}e^{ax} \sin (bx) \end{eqnarray}$ Vergleiche mal deine Rechnung bis hierher. Danach dividiere durch den Faktor vor dem Integral. Auf gemeinsamen Nenner bringen, ausklammern, kürzen! Fertig. mY+
26.04.2009, 00:33	water	Auf diesen Beitrag antworten »
danke für die antwort . nur leider komme ich nichtmals bis dahin. naja, "fast". bei mir ists nur -(b/a) ohne das quadrat. aber woher kriege ich das quadrat? das [latex]\frac{b²}{a²}? beim bestn willen, ich krieg dass nirgends rausgeflutscht.. wenn ich v=sin(bx) -> v'=b cos(bx) u'=e^ax -> u= 1/a e^ax setze, und dann ausrechne krieg ich kein quadraht beim zweiten partiellen integrieren. setzte sich dass aus den vorfaktoren zusammen?!
26.04.2009, 11:33	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das ergibt sich aus den Vorfaktoren. Bei der zweimaligen Integration wird doch jedes Mal durch a dividiert .... $\begin{eqnarray} \int~e^{ax} \cos (bx)~dx = \frac{1}{a}e^{ax} \cos (bx) + \frac{b}{a} \int~e^{ax} \sin (bx) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int~e^{ax} \cos (bx)~dx = \frac{1}{a}e^{ax} \cos (bx) + \frac{b}{a} \cdot [\frac{1}{a}e^{ax} \sin (bx) - \frac{b}{a} \int~e^{ax} \cos (bx)] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \ldots \end{eqnarray}$ mY+
26.04.2009, 13:58	water	Auf diesen Beitrag antworten »
ah dankesehr. mein grundlegener fehler war, dass ich am anfangsintegral u' und v anders gesetzt hab. habs jetz vertauscht und ich komm jetzt auch soweit. dankesehr

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