Offener Kern, abgeschlossene Hülle, Rand (2)

25.04.2009, 22:39

Sabinee

Offener Kern, abgeschlossene Hülle, Rand (2)

Die Aufgabe lautet folgendermaßen:

Sei $\begin{eqnarray*} A\subset \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ . Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} \mathfrak{G}(\overline{A})\subset \mathfrak{G}(A) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathfrak{G}(A^o)\subset \mathfrak{G}(A) \end{eqnarray*}$

Dabei bezeichnet $\begin{eqnarray*} \mathfrak{G}(A) \end{eqnarray*}$ den Rand von A, wusste nur nicht wie man das Zeichen dafür in Tex macht.

Also anschauulich ist mir das völlig klar.
Ich versuche mal mit dem zweiten an.
Ich nehme ein Element aus dem Rand des offenen Kerns und möchte zeigen, dass es auch im Rand der Menge enthalten ist.

Sei also $\begin{eqnarray*} x\in \mathfrak{G}(A^o) \end{eqnarray*}$ . Daraus folgt, dass $\begin{eqnarray*} x\in \overline{A^o}\setminus A^{oo} \end{eqnarray*}$ ist. Wegen $\begin{eqnarray*} A^{oo}=A^o \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} x\in \overline{A^o}\setminus A^o \end{eqnarray*}$ .

Hmm aber bringt mir das etwas?

Ich könnte auch so argumentieren:

Sei $\begin{eqnarray*} x\in A^o \end{eqnarray*}$ . Wegen $\begin{eqnarray*} A^o\subset A \end{eqnarray*}$ folgt: $\begin{eqnarray*} A^o\subset A \end{eqnarray*}$ und daraus $\begin{eqnarray*} \mathfrak{G}(A^o)\subset \mathfrak{G}(A) \end{eqnarray*}$ .

Was sagt ihr dazu?

26.04.2009, 08:59

Elvis

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Rand
Hallo,
es ist sehr erstaunlich, dass deine Anschauung im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{42759} \end{eqnarray*}$ etwas nichttriviales über beliebige Teilmengen dieses Raumes aussagt. Die meisten Menschen, die ich kenne, haben im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ kaum eine und im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^4 \end{eqnarray*}$ überhaupt keine brauchbare Anschauung. Augenzwinkern

Damit du den Beweis führen kannst, musst du eine saubere Definition der Begriffe "offener Kern", "abgeschlossene Hülle", "Rand" aufschreiben. Diese Definitionen können und müssen dann im Beweis auftreten.

26.04.2009, 11:15

Mathespezialschüler

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Hallo!

Zitat:

Original von Sabinee
Sei $\begin{eqnarray*} x\in A^o \end{eqnarray*}$ . Wegen $\begin{eqnarray*} A^o\subset A \end{eqnarray*}$ folgt: $\begin{eqnarray*} A^o\subset A \end{eqnarray*}$ und daraus $\begin{eqnarray*} \mathfrak{G}(A^o)\subset \mathfrak{G}(A) \end{eqnarray*}$ .

Das ist absolut falsch. Der Randoperator erhält keine Teilmengenbeziehungen! Beispiel: $\begin{eqnarray*} A:=(1,2)\subseteq (0,3)=:B \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} \partial A=\{1,2\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \partial B=\{0,3\} \end{eqnarray*}$ .

Dein anderer Ansatz bringt schon wesentlich mehr. Beachte $\begin{eqnarray*} \mathring A\subseteq A \end{eqnarray*}$ , woraus man auch $\begin{eqnarray*} \overline{\mathring A}\subseteq\overline A \end{eqnarray*}$ erhält. Dann steht es schon da. Die andere Behauptung beweist man analog.

PS: Versuche einmal, Beispiele zu finden, die zeigen, dass i.A. keine Gleichheit gilt, bei denen die Inklusionen also echt sind!

26.04.2009, 17:32

Leopold

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
PS: Versuche einmal, Beispiele zu finden, die zeigen, dass i.A. keine Gleichheit gilt, bei denen die Inklusionen also echt sind!

Und hier gleich ein Vorschlag aus dem andern Strang:

Zitat:

Original von Sabinee
$\begin{eqnarray*} A_4=\{(x,y)\in [0,1]\times [0,1]: x,y\in \mathbb Q\} \end{eqnarray*}$

26.04.2009, 20:32

Sabinee

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So habs bewiesen, war wirklich nicht so schwer.
Dankeschön

Ich habe versucht Beispiele zu finden, aber hab keins gefunden wo alle drei Mengen verschieden sind. Kann mir da jemand ein Beispiel zeigen?

26.04.2009, 20:38

Mathespezialschüler

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Hast du Leopolds Beitrag überlesen? Alternativ auch $\begin{eqnarray*} \mathbb Q\cap [0,1] \end{eqnarray*}$ als Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ .

26.04.2009, 21:22

Sabinee

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Ich hab Leopolds Beitrag gesehen, aber darüber wird in meinem anderen Thread noch diskutiert was der offene Kern, die Hülle und der Rand ist deswegen weiß ich nicht wieso es bei dieser Menge gilt.

26.04.2009, 23:53

Mathespezialschüler

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Was ist denn das Innere und der Abschluss von $\begin{eqnarray*} \mathbb Q\cap [0,1] \end{eqnarray*}$ ? Damit lässt sich der Rand auch sofort hinschreiben.

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