Spezielle Elemente in einer Ordnungsrelation

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rZwo Auf diesen Beitrag antworten »
Spezielle Elemente in einer Ordnungsrelation
Hallo,

ich habe leider Verständnisprobleme bei den speziellen Elementen in einer Ordnungsrelation. Ich schreibe erstmal, wie ich es aus meiner Sicht verstanden habe:
  • Maximum: Element aus der betrachteten Menge, das alleinig größer ist als alle anderen
  • maximales Element: Element aus der betrachteten Menge, das mit anderen Elementen gleich sein kann, die dann aber größer als der Rest dieser Menge sind
  • obere Schranke: alle Elemente aus der Obermenge, die größer sind als die betrachtete Menge
  • Supremum: minimales Element der oberen Schranken


Ist das in etwa so richtig? Leider fehlen mir auch konkrete Beispiele, an denen ich mir das verdeutlichen könnte. Hat da jemand zufällig so etwas bereit?

Vielen Dank im voraus!

Gruß
rZwo
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo!
Maximum ist richtig beschrieben (man sagt dazu auch größtes Element).

Zitat:
Original von rZwo
maximales Element: Element aus der betrachteten Menge, das mit anderen Elementen gleich sein kann, die dann aber größer als der Rest dieser Menge sind

Wenn zwei Elemente gleich sind, dann sind sie schon ein und dasselbe Element. Was du da geschrieben hast, ist also falsch. Ein maximales Element einer Menge ist ein Element dieser Menge, für welches kein größeres Element existiert.

Zitat:
Original von rZwo
obere Schranke: alle Elemente aus der Obermenge, die größer sind als die betrachtete Menge

Genauer ausdrücken! Ist eine geordnete Menge und eine Teilmenge von , so heißt obere Schranke von , wenn alle Elemente von kleinergleich sind.

Zitat:
Original von rZwo
Supremum: minimales Element der oberen Schranken

Falls dieses existiert!

Ich versuche, ein paar relativ natürliche Beispiele für dich anzugeben, die hoffentlich zum Verständnis beitragen:

Betrachte in die Kleinergleich-Ordnung und die Teilmenge . Diese besitzt kein Maximum und kein maximales Element, aber ein Supremum, nämlich . Die Menge der oberen Schranken ist .

Jetzt betrachte die Teilmenge . Diese besitzt ein Maximum, ein maximales Element und ein Supremum und diese sind alle gleich, nämlich . Die Menge der oberen Schranken ist wieder .

In einer geordneten Menge gilt immer: Wenn es ein Maximum gibt, dann gibt es auch nur ein maximales Element und die beiden stimmen überein. Die Umkehrung gilt aber nicht immer. Sie gilt aber z.B. in total geordneten Mengen (das sind geordnete Mengen, in denen je zwei Elemente vergleichbar sind). Dort besitzt eine Menge genau dann ein Maximum, wenn sie ein maximales Element besitzt, und dann stimmen diese überein. Es kann aber in einer geordneten Mengen, die nicht total geordnet ist, auch mehrere maximale Elemente geben, womit es dann auch kein Maximum geben kann. Beispiel:

Betrachte die Menge aller natürlichen Zahlen ohne die Null und die Eins und definiere die folgende Ordnung: heiße kleinergleich , wenn ein Teiler von ist. Z.B. ist , weil ein Teiler von ist. Es gilt aber weder noch , d.h. und sind nicht vergleichbar. Das ist also keine totale Ordnung.

Diese Menge besitzt kein Maximum, dafür aber sehr viele maximale Elemente. Jede Primzahl ist ein maximales Element! Z.B. ist ein maximales Element, denn aus folgt , also (denn Eins liegt nicht in der Menge). Es gibt also kein größeres Element als . Und analog gibt es zu jeder Primzahl kein größeres Element!

Übrigens: Wenn man jetzt als Teilmenge von auffasst, dann besitzt das Supremum , welches aber nicht zu selbst gehört.
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Spezielle Elemente in einer Ordnungsrelation
Zitat:
Original von rZwo
  • maximales Element: Element aus der betrachteten Menge, das mit anderen Elementen gleich sein kann, die dann aber größer als der Rest dieser Menge sind
  • obere Schranke: alle Elemente aus der Obermenge, die größer sind als die betrachtete Menge


Grob gesagt:

max. Element: Element aus der betrachteten Menge, was entweder unvergleichbar oder größergleich als andere Elemente ist; es kann mehrere max. Elemente geben

obere Schranke: ... größer als alle Elemente aus der betrachteten Menge


Um die Begriffe einmal in Aktion zu sehen, schau dir ein paar Beispiele an.

Grüße Abakus smile
rZwo Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen vielen Dank euch beiden, jetzt wird mir schon mal einiges klarer Freude
Wo ich mich allerdings noch schwer tue, ist, wenn es sich nicht einfach um reele Zahlen handelt, sondern beispielsweise ein Hasse-Diagramm gegeben ist.

Wie wäre es denn jetzt bei diesem Beispiel:
code:
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
h __  __ g
|   \/   |
| __/\___|
e __  __ f
|   \/   |
| __/\___|
c __     d
|   \    |
|    \___|
a        b

?
Wie sähe das aus, wenn man das h weglassen würde oder ein Element hinzufügen würde, das gar keine Relation zu diesen Elementen hätte?

Viele Grüße
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

In deinem Diagramm sind h und g maximale Elemente, aber das weißt du bereits, denke ich. Wenn du ein weiteres, isoliertes Element dazunimmst, ist es auch maximal, denn es gibt dazu ja kein größeres.

Grüße Abakus smile
Stevie86 Auf diesen Beitrag antworten »

ich schließ mich diesem thread mal an, da er denke ich, ganz gut zu meiner frage passt.

meine menge M ist {2;3;4;5;6;7;8} und es existiert die relation nRm "n ist teiler von m".
also ergibt sich R={(2;2) ; (2;4) ; (2;6) ; (2;8) ; (3;3) ; (3;6) ; (4;4) ; (4;8) ; (5;5) ; (6;6) ; (7;7) ; (8;8)}

maximale elemente von R wären nun 5, 6, 7 und 8 und minimale elemente wären 2, 3, 7 und 8? kann das sein, dass ein maximales element auch ein minimales element ist?

danke für eure hilfe!

edit(MSS): Leerzeichen eingefügt, um die Smileys aus der Menge zu entfernen.
 
 
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Stevie86
kann das sein, dass ein maximales element auch ein minimales element ist?

Ja, das kann sein, und zwar genau dann, wenn dieses Element in Relation zu keinem anderen Element steht.

Deine maximalen Elemente stimmen, Acht als minimales Element ist aber falsch, denn sowohl Zwei als auch Vier sind kleiner als Acht. Hingegen hast du die Fünf als minimales Element vergessen.
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