Den Wert einer Doppelsumme berechnen...

26.04.2009, 11:00

Chukko

Den Wert einer Doppelsumme berechnen...

So, Grüß Gott, alle miteinander. Das ist mein erster thread hier auf dem board, deswegen erstmal ein herzliches Hallo an alle, die meinen thread hier lesen und einen dickes Dankeschön an all diejenigen, die mir bei der Lösung meines (für euch sicher lächerlichen Problems Augenzwinkern

) helfen.

Ich sitz grad an folgender Aufgabe: Drücke für n $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ und k=0,1,2,3 jeweils die Summe der n kleinsten natürlichen Zahlen , welche nach Division durch 4 den Rest k haben, durch das Summenzeichen aus. schreibe die Summe über diese vier Summen als Doppelsumme und finde deren Wert.

Ich habe mir jetzt überlegt, dass die vier Summen heißen müssen:
$\begin{eqnarray*} \sum_{j=1}^{n} \end{eqnarray*}$ 4j-k mit k=0,1,2,3.

Das habe ich dann zusammengefasst in der Doppelsumme:
$\begin{eqnarray*} \sum_{j=1}^{n} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{3} \end{eqnarray*}$ 4j-k.

Ich denke (und hoffe smile

), das müsste bis hier richtig sein. Jetzt hab ich aber keinen blassen Schimmer, wie man den Wert der Summe berechnen soll...
Ich bin in meiner ersten Woche an der Uni nachdem ich ne Zeit lang kein Mathe mehr gesehen hab, vielleicht bin ich ja auch nur ganz furchtbar eingerostet. Big Laugh

Wäre aber auf jeden Fall super nett, wenn mir einer hier nen kleinen Denkanstoß geben würde.

LG Alex

26.04.2009, 11:23

Mathespezialschüler

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Herzlich Willkommen im Board! smile

Zitat:

Original von Chukko
Ich habe mir jetzt überlegt, dass die vier Summen heißen müssen:
$\begin{eqnarray*} \sum_{j=1}^{n} \end{eqnarray*}$ 4j-k mit k=0,1,2,3.

Wenn ich $\begin{eqnarray*} j=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} k=1 \end{eqnarray*}$ einsetze, dann steht dort $\begin{eqnarray*} 4-1=3 \end{eqnarray*}$ und das lässt bei Division durch vier den Rest drei und nicht den Rest eins. $\begin{eqnarray*} 4j-k \end{eqnarray*}$ lässt bei Division durch $\begin{eqnarray*} 4 \end{eqnarray*}$ immer den Rest $\begin{eqnarray*} 4-k \end{eqnarray*}$ . Versuche also, den Term richtig zu stellen. Und setze Klammern bei Summenzeichen!

Zitat:

Original von Chukko
Das habe ich dann zusammengefasst in der Doppelsumme:
$\begin{eqnarray*} \sum_{j=1}^{n} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{3} \end{eqnarray*}$ 4j-k.

Du musst bei $\begin{eqnarray*} k=0 \end{eqnarray*}$ anfangen. Wenn du dann den Term noch verbesserst, bleibt eine Summe stehen, die man gut berechnen kann. Beachte dafür $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^m~(a_i+b_i)=\sum_{i=1}^m~a_i+\sum_{i=1}^m~b_i \end{eqnarray*}$ .

26.04.2009, 12:22

Chukko

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Sodalle, also erstmal Danke für die prompte Antwort! Mit Zunge

Ich hab den Term jetzt angepasst, und zwar auf 4j+k. Der Term ergibt jetzt bei j=1 und k=1 den gewünschten Rest 1.

Dann hab ich noch die Summationsgrenze auf k=0..3 gesetzt und dann versucht, die Doppelsumme aufzulösen, indem ich erst alle k's eingesetzt und zusammengerechnet hab und dann mit dieser Summenregel den Term in zwei Teile zerlegt hab.

Jetzt steht bei mir das:

$\begin{eqnarray*} \sum_{j=1}^{n} \end{eqnarray*}$ (16j) + (n-j+6)

Ist das schon die Lösung??? Ich glaube nämlich nicht, aber nachdem wir das in der vorlesung noch nie gemacht haben weiß ich auch nicht so ganz genau, wie das am Ende auszusehen hat... traurig

26.04.2009, 17:47

Mathespezialschüler

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Du hast die kleinsten Zahlen nun vergessen. Für $\begin{eqnarray*} j=k=1 \end{eqnarray*}$ erhältst du z.B. $\begin{eqnarray*} 5 \end{eqnarray*}$ . Die kleinste natürliche Zahl, die bei Teilung durch $\begin{eqnarray*} 4 \end{eqnarray*}$ den Rest $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ lässt, ist aber $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ . (Ist Null bei euch eine natürliche Zahl?)

Die Summe lautet also (wenn $\begin{eqnarray*} 0\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ gilt):

$\begin{eqnarray*} \sum_{j=0}^{n-1}~\sum_{k=0}^3~(4j+k) \end{eqnarray*}$ .

Kannst du deine Rechnung bitte in Formel hinschreiben? So kann ich das nicht wirklich korrigieren. Und gehört bei der letzten Summe der zweite Term zur Summe dazu oder nicht mehr? (Klammern setzen oder Terme, die nicht zur Summe gehören, vor die Summe schreiben!)

Die Aufgabe ist auch wahrscheinlich nicht so gedacht, dass du einfach die Summe hinschreibst und alles per Hand aufsummierst. Für solche Summen gibt es Formeln, nämlich z.B. die Formel

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^m~i=\sum_{i=1}^m~i=\frac{m(m+1)}{2} \end{eqnarray*}$ .

Damit lässt sich die innere Summe z.B. berechnen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^3~(4j+k)=4j\sum_{k=0}^3~1+\sum_{k=0}^3~k=4j\cdot 4+\frac{3(3+1)}{2}=8j+6 \end{eqnarray*}$ .

Und dann kannst du die äußere Summe mit der gleichen Formel berechnen.

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