Funktionsgleichung bestimmen

26.04.2009, 11:51

Plattfuss

Funktionsgleichung bestimmen

Hallo,
ich habe Probleme mit der folgenden Aufgabe:

Wie lautet die Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion 2. Grades, deren Graph
symetrisch zur y-Achse verläuft, durch P(2/(3/2)) geht und zusammen mit der Abszissenachse eine Fläche von A = 32/3 FE begrenzt?

Ich konnte schon eine Bedingung aufstelle:
I 3/2 = 4a + c

Für das Integral der Fläche brauch ich ja noch eine Nullstelle.
Kann mir jemand helfen?

MFG

26.04.2009, 12:18

mYthos

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Was sind bei dir a und c? Wie lautet die allgemeine Funktionsgleichung, die du bereits aufgestellt hast? Welche Besonderheit ergibt sich aus der y-Achsensymmetrie?

mY+

26.04.2009, 12:36

Plattfuss

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a und c sind so eine Art Multiplikatoren die gesucht werden. Der exakte Begriff fällt mir jetzt nicht ein

Die allgemeine Funktionsgleichung ist: y= ax^2 + bx + c
Da sie Achsensymmetrisch ist fällt bx weg.
=> y=ax^2 + c
Für die erste Bedingung habe ich dann den angegebenen Punkt eingesetzt
=> 3/2 = 4a + c

Jetzt hab ich ja noch die Fläche

32/3 = 2 integral (ax^2 + c)dx in den Grenzen 0 bis x
32/3 = 2/3 ax^3 + 2 cx

jetzt kann man ja die allgemeine Funktionsgleichung nullsetzten und nach X umformen und dann noch die erste Bedingung nach c umformen und und das alles ins intergral
einsetzen. Das gib dann eine heftige Formel die ich nicht lösen kann.
Es soll aber auch wesentlich einfache gehen.
Ich hoffen du kannst mir helfen.

MFG

26.04.2009, 14:57

mYthos

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Soweit, so gut. Die Nullstellen lauten nun

$\begin{eqnarray*} x_{1,2} = \pm \sqrt{-\frac{c}{a}} \end{eqnarray*}$

Infolge der Symmetrie kannst du nun von $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} \sqrt{-\frac{c}{a}} \end{eqnarray*}$ integrieren und dieses bestimmte Integral gleich $\begin{eqnarray*} \frac{16}{3} \end{eqnarray*}$ setzen. Das ergibt die 2. Gleichung.

Kontrollergebnis: $\begin{eqnarray*} c \sqrt{-\frac{c}{a}} = 8 \end{eqnarray*}$

Mit der ersten Gleichung (8a = 3 - 2c) kommen wir nun auf eine Gleichung dritten Grades in c. Diese hat drei reelle Lösungen (eine davon ist 2). Die anderen Lösungen werden durch Polynomdivision (Zurückführen auf eine quadratische Gleichung) ermittelt.

mY+

26.04.2009, 16:43

Plattfuss

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Hallo

irgendwie haut das bei mir nicht hin.
Kannst du mir das noch näher erläutern und die gesuchte funktion geben die die anforderung erfüllen?

MFG

27.04.2009, 17:39

Plattfuss

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Hallo,
also ich hab noch ein bischen probiert und komme überhaupt nicht auf deine Formel
$\begin{eqnarray*} c \sqrt{-\frac{c}{a}} = 8 \end{eqnarray*}$

ich habe $\begin{eqnarray*} x=\sqrt{ -\frac{c}{a}} \end{eqnarray*}$ in die Stammfunktion eingesetzt,
versucht aufzulösen, aber ich komme immer auf 4 und du auf 8.
Kanns du oder auch ein anderer mir nochmal den Weg zeigen?

$\begin{eqnarray*} \frac{16}{3}= \frac{1}{3}a\sqrt{(-\frac{c}{a})^3}+c\sqrt{-\frac{c}{a}} \end{eqnarray*}$

Das ist mein einzigstes Problem. Mit deiner Formel bin ich auch auf die drei Funktionen gekommen.
Wäre sehr net!!

MFG

27.04.2009, 19:43

mYthos

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Zitat:

Original von Plattfuss
...
$\begin{eqnarray*} \frac{16}{3}= \frac{1}{3}a\sqrt{(-\frac{c}{a})^3}+c\sqrt{-\frac{c}{a}} \end{eqnarray*}$
...

Das stimmt noch! Nun aus der Wurzel teilweise radizieren! Vorzeichen beachten. Durch a kürzen. Danach kann man die gleichartigen Summanden zusammenfassen:

$\begin{eqnarray*} \frac{16}{3}= \frac{1}{3}a \cdot (-\frac{c}{a}) \cdot \sqrt{-\frac{c}{a}}+c\sqrt{-\frac{c}{a}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{16}{3}= -\frac{1}{3}c \sqrt{-\frac{c}{a}}+c\sqrt{-\frac{c}{a}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{16}{3}= \frac{2}{3}c \sqrt{-\frac{c}{a}} \end{eqnarray*}$

mY+

27.04.2009, 20:04

Plattfuss

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Hallo,
alles klar vielen dank!!

MFG

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Funktionsgleichung bestimmen

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