Kompaktheit eines metrischen Raumes |
| 26.04.2009, 11:58 | saz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Kompaktheit eines metrischen Raumes die Aufgabenstellung ist die folgende: "Die Menge aller Zahlenfolgen in [0,1] wird durch die Metrik zu einem metrischen Raum. Zeige, dass dieser metrische Raum nicht kompakt ist." Kurz gesagt muss man ja sicherlich irgendwie zeigen, dass der Raum nicht abgeschlossen und/oder nicht beschränkt ist. Allerdings habe ich gerade ein paar Schwierigkeiten dabei, mit diesem metrischen Raum überhaupt umzugehen. Für die (möglicherweise nicht vorhandene) Abgeschlossenheit könnte man ja z.B. prüfen, ob jede konvergente Folge in dem Raum konvergiert. Aber wie sieht eine Folge in dem Raum überhaupt aus? Ist das dann eine Folge von Folgen...? Mich verwirrt eben irgendwie dieses ... ist das x dann nur die Kurzschreibweise für die Folge? |
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| 26.04.2009, 12:51 | Dual Space | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Kompaktheit eines metrischen Raumes Ist der zu untersuchende Raum endlich-dimensional? |
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| 26.04.2009, 14:33 | saz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Puh, keine Ahnung. Wenn du so fragst sicher nicht ;-) ... mir ist wie gesagt eben nicht ganz klar, wie dieser Raum überhaupt "aussieht". Soll ich das x dann als Spaltenvektor auffassen, wo nacheinander die Folgenglieder drin stehen? Aber so oder so - was hat die Dimensionalität mit der Kompaktheit zu tun? |
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| 26.04.2009, 14:43 | Dual Space | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du kannst x als Spaltenvektor (mit unendlich vielen Einrägen) interpretieren, ja. Kompaktheit ist nur dann äquivalent zu Abgeschlossenheit und Beschränktheit, wenn der zu betrachtende Raum endlich dimensional ist. |
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| 26.04.2009, 14:53 | saz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Oh stimmt. Wir hatten das ja immer nur für bewiesen. Mmh, könnte ich maximal noch einen Widerspruch zur Folgenkompaktheit zeigen 
- die Äquivalenz Kompaktheit Folgenkompaktheit gilt ja anscheinend für jeden metrischen Raum. |
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| 26.04.2009, 17:10 | Abakus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Sagt dir die Überdeckungseigenschaft etwas? Das könnte ein Ansatz sein. Grüße Abakus 
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| 26.04.2009, 17:16 | saz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Meinst du, dass zu jeder offenen Überdeckung von einem metrischen Raum X eine endliche Teilüberdeckung existieren muss? So hatten wir bei uns Kompaktheit definiert ... allerdings wollte ich das ganze lieber umgehen, bin nicht so sonderlich gut mir irgendwelche Überdeckungen aus den Fingern zu saugen 
. (Und irgendwie würde ja dann die Metrik unter den Tisch fallen
...?) |
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| 26.04.2009, 17:20 | Abakus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Genau das meinte ich! Die Metrik ist gut, um zB geeignete offene Mengen zu definieren. Grüße Abakus
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| 26.04.2009, 17:23 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dann nimm lieber die Folgencharakterisierung. Konstruiere eine beschränkte Folge ohne konvergente Teilfolge. |
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| 26.04.2009, 17:34 | saz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Naja, dass ich das machen muss, weiß ich auch. Mir fällt nur irgendwie keine ein
... Aber ich werd' nochmal beide Ansätze überdenken, vllt. kommt ja noch eine brauchbare Idee. |
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| 26.04.2009, 17:38 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Falls nicht, sag bescheid, dann helfen wir auch weiter. Im Übrigen solltest du nicht zu kompliziert denken. Versuche die Folge von Folgen einfach zu halten. |
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| 26.04.2009, 21:31 | saz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Gerade eine Idee gehabt: Kann ich die Folge einfach aus Folgen aufbauen, die an n-ter Stelle eine Konstante stehen haben (z.B 1) und der Rest 0 ist? Dann kann ich die Konstante immer weiter nach "hinten" wandern lassen - und die Metrik ergibt für alle Folgen meine festgelegte Konstante... also kann es keine konvergente Teilfolge geben. |
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| 26.04.2009, 22:34 | Dual Space | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
That's it. 
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| 26.04.2009, 22:34 | Abakus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, gute Idee. Das wäre dann noch exakt zu formulieren. Grüße Abakus
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| 26.04.2009, 22:36 | saz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Äh ja, natürlich... mache ich schon noch. Wollte ja nur erstmal nachfragen, ob es soweit erstmal stimmt. Okay, dann danke an euch beide für eure Hilfe! |
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| 26.04.2009, 23:52 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Genau diese Folge meinte ich.
Weißt du denn, wie du zeigst, dass diese Folge keine konvergente Teilfolge besitzt? |
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| 27.04.2009, 18:58 | saz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Öhm naja, der "Abstand" der durch die Metrik geliefert wird, ist ja dann zwischen allen Folgegliedern gleich der Konstante. Damit man eine konvergente Teilfolge konstruieren kann, müsste man ja x,y wählen können, sodass d(x,y) < für alle - was ja aber in dem Fall eben schon mal nicht geht. Oder?
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| 27.04.2009, 21:21 | Abakus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja; bei der Argumentation hättest du dann das Cauchy'sche Konvergenzkriterium benutzt. Grüße Abakus
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| 05.05.2009, 18:33 | bappi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo, da wir gerade beim gleichen Themenkomplex sind, find ich die Aufgabe sehr interessant! Nur leider kann ich mir die Vektoren noch nicht so recht vorstellen, bzw. wie kann man es "formal notieren"? Wenn ich die Argumentation richtig verstanden habe, wäre der Vektor ja dann von der Gestalt wobei die 1 gerade an der i-ten Stelle steht. Wie schreibt man das Formal auf? Vielen dank schon im voraus
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| 05.05.2009, 19:25 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo! Der hier betrachtete Vektorraum ist nicht endlich-dimensional! Deshalb ist deine Darstellung in jedem Fall falsch. In manchen Vektorräumen kann man Vektoren nun mal nicht unbedingt so hinschreiben, wie man das aus endlich-dimensionalen Vektorräumen gewohnt ist. Hier müsste einen unendlich langen Vektor schreiben, was nichts anderes ist als eine Folge. So ist der Raum ja auch definiert: Als Folgenraum. Es gibt auch noch ganz andere Vektorräume, in denen man die "Vektoren" sicher nicht so hinschreiben kann. Betrachte z.B. die Menge aller stetigen Funktionen von nach . Diese bilden einen Vektorraum und die "Vektoren" sind die stetigen Funktionen. |
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| 05.05.2009, 19:29 | Dual Space | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nunja da gibt es (wie immer) verschiedene Möglichkeiten: 1. 2. mit . usw. |
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| 05.05.2009, 22:31 | bappi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Oki vielen dank euch zwei
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