Exponentialverteilung

26.04.2009, 13:10

conni123

Exponentialverteilung

Hallo,

ich habe bei der folgenden Aufgabe ein Problem:

Zwischen zwei rechnern werden E-Mails verschickt. Die Länge der Mails ist Negativ-exponetial verteilt mit einem Mittelwert von 800 bytes. Zum Verschicken werden die Mails in Pakete der länge 960 byte zerhackt und dann zusammen mit Header in Containern der Länge 1024 byte verschickt.

Mein Problem ist nun folgendens, ich möchte ausrechnen wieviele Pakete im mittel pro Mail verschickt werden.

Meiner Meinung, ist das doch einfach $\begin{eqnarray*} E[k]=\frac{800}{960} \end{eqnarray*}$
Und somit im Mittel 0,833 Pakete pro Mail.

Als Lösung habe ich hier 1,4310 stehen. Habe ich nun einen völlog falschen Ansatz??

Vielen Dank für Hilfen

26.04.2009, 13:47

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Zitat:

Original von conni123
Zwischen zwei rechnern werden E-Mails verschickt. Die Länge der Mails ist Negativ-exponetial verteilt

Hmm, nie davon gehört: Was verstehst du unter "negativer Exponentialverteilung" ? Oder meinst du die negative Binomialverteilung?

Dass der Erwartungswert größer als 1 sein muss, ist nur logisch: Jede noch so kleine Nachricht (und wenn es nur 1 Byte ist) erfordert mindestens 1 Paket. Aus der zufälligen Anzahl Bytes $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ der Nachricht ergibt sich die Anzahl der Pakete $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ durch Aufrunden:

$\begin{eqnarray*} K = \left\lceil\frac{B}{960} \right\rceil \end{eqnarray*}$

(siehe Gaußklammer - Aufrundungsfunktion). Du hast anscheinend einfach nur

$\begin{eqnarray*} K = \frac{B}{960} \end{eqnarray*}$

gerechnet - das geht so nicht. unglücklich

26.04.2009, 14:05

conni123

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Hallo,

ersteinmal vielen Dank. Unter Negativ exponential verstehe ich, dass die Länge der Mails der Wahrscheinlichkeitsdichte $\begin{eqnarray*} P(l)=\lambda e^{-\lambda l} \end{eqnarray*}$ genügt. Wobei $\begin{eqnarray*} \lambda =\frac{1}{L} \end{eqnarray*}$ gilt. L ist also die mittlere Länge einer Mail.

Aber wie rechne ich denn nun aus, wieviele Pakete ich im Mittel pro Mail brauche. Du sagst, der Erwartungswert kann aus logischer Sicht garnicht kleiner als 1 sein, da auch für jede noch so kleine Mail mindestens ein Paket verschickt wird.

Okay das sehe ich ein. Aber mir fehlt ganz erhlich der entscheidende Gedanke um das Mathematisch auszudrücken.

26.04.2009, 14:11

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Zitat:

Original von conni123
Unter Negativ exponential verstehe ich, dass die Länge der Mails der Wahrscheinlichkeitsdichte $\begin{eqnarray*} P(l)=\lambda e^{-\lambda l} \end{eqnarray*}$ genügt.

Das versteht alle Welt als "Exponentialverteilung", d.h. ohne dieses rätselhafte Attribut "negativ". Augenzwinkern

Aus der (rätsehafterweise stetigen) Verteilung der Byteanzahl $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ kannst du doch die diskrete Verteilung der Pakete ausrechnen:

$\begin{eqnarray*} P(K=1) = P(0 < B \leq 960) = \cdots \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(K=2) = P(960 < B \leq 1920) = \cdots \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(K=3) = P(1920 < B \leq 2880) = \cdots \end{eqnarray*}$

allgemein

$\begin{eqnarray*} P(K=m) = P(960(m-1) < B \leq 960m) = \cdots \end{eqnarray*}$

Und dann den Erwartungswert von $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ wie üblich ausrechnen

$\begin{eqnarray*} E(K) = \sum_{m=1}^{\infty} mP(K=m) \end{eqnarray*}$ . Alternativ ginge auch

$\begin{eqnarray*} E(K) = \sum_{m=1}^{\infty} P(K \geq m) \end{eqnarray*}$ ,

sofern du diese Formel schon kennst bzw. benutzen darfst. Augenzwinkern

26.04.2009, 14:33

conni123

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Okay, ich glaube nu wird da n Schuh draus.

Ich errechne also die Verteilungsfunktion der Pakete indem ich ausrechne, wie wahrscheinlich es ist, dass die Mails kleiner als 960byte sind. Dann wie wahrscheinlich es ist, dass die Mails größer als 960 byte aber kleiner als 1920 byte sind .... usw.

Damit erhalte ich die Verteilungsfunktion der Pakete. Daraus errechne ich den Mittelwert und schon war´s das.
Einfach die mittlere Mail-länge durch die Paketlänge Teilen macht also keinen Sinn.

Ich denke ich habs verstanden. Nochmals vielen vielen Dank.

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