Lösbarkeit
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13.09.2006, 23:42 Gioiello Auf diesen Beitrag antworten »
Lösbarkeit
Ich muss für die folgende Aufgabe Parameterwerte finden, so dass das Gleichungssystem
(a) eindeutig lösbar,
(b) mehrdeutig lösbar,
(c) widersprüchlich ist



Meine Lösung:

(a) Hilfe
(b)
(c)

Stimmt das?

EDIT: Gleichungssystem korrigiert
13.09.2006, 23:47 penizillin Auf diesen Beitrag antworten »

stelle mal die koeffizientenmatrix dieses lgs auf und bestimme ihre determinante. was muss für die parameter gelten, damit die entstandene gleichung nicht null sein kann?
13.09.2006, 23:49 Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Lösungen stimmen.

Und das LGS ist eben für kein c eindeutig lösbar.

Gruß Björn
13.09.2006, 23:51 Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Nicht ganz, ein Vorzeichenfehler (kann ja sonst auch nicht hinhauen Augenzwinkern ).
13.09.2006, 23:52 Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Oh ja, hatte ich glatt übersehen - aber sie/er meinte wohl das richtige Augenzwinkern
14.09.2006, 00:01 Gioiello Auf diesen Beitrag antworten »

Also gibt es keine eindeutige Lösung für dieses LGS.
Wenn aber die letzte Zeile nicht 0 sondern irgendeine andere Zahl wäre, dann würde man eine eindeutige Lösung finden, oder?

Wo ist da ein Vorzeichenfehler? bei (c)?


PS: ZOEY=WEIBLICH böse
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14.09.2006, 00:20 JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Wenn aber die letzte Zeile nicht 0 sondern irgendeine andere Zahl wäre, dann würde man eine eindeutige Lösung finden, oder?

? das verstehe ich nicht, liebe weibliche Zoey ?
Welche Zeile ist 0?



Merke dir: ein LGS kann nur dann eindeutig lösbar sein, wenn das zugehörige homogene LGS eindeutig lösbar ist.
Das homogene LGS hat hier gar keinen Parameter drin (der kommt ja nur rechts vor) - also insbesondere kann es da nichts geben, was eindeutige Lösbarkeit erzeugt.

Dann kannst du Glück haben - das homogene LGS ist eindeutig lösbar - dann ist dein LGS entweder eindeutig (oder aber gar nicht) löbar.
Oder es das zugehörige homogene LGS - wie hier, ich glaube den Vorrednern und rechne nicht nach - nicht eindeutig lösbar, dann ist auch dein LGS niemals eindeutig lösbar.




Merke gut (!), alles in Matrizenschreibweise:
ist L der Lösungsraum des homogenen LGS Ax=0, und sei nun Ax=b irgendein LGS, dann gilt:
ist Ax=b unlösbar, dann unlösbar
ist Ax=b aber gelöst durch eine beliebige Lösung v, dann bekommst du den Lösungsraum davon durch v+L

Versuch mal, diese Schreibweise zu verstehen smile
wenns zu hoch ist, versuche ich's nochmal einfacher, ist etwas zu formal geraten, sry
14.09.2006, 00:31 Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von LOED
Zitat:
Wenn aber die letzte Zeile nicht 0 sondern irgendeine andere Zahl wäre, dann würde man eine eindeutige Lösung finden, oder?

? das verstehe ich nicht, liebe weibliche Zoey ?
Welche Zeile ist 0?


Ich aber Big Laugh

Zoey, du meinst genau das Richtige und lass dich nicht verwirren Augenzwinkern

Vorzeichenfehler bei c), ja.

Edit:
Zitat:
Original von LOED
Dann kannst du Glück haben - das homogene LGS ist eindeutig lösbar - dann ist dein LGS entweder eindeutig (oder aber gar nicht) löbar.


Sag mal ein Beispiel, wo das homogene eindeutig lösbar ist und ein zugehöriges inhomogenes unlösbar.
14.09.2006, 00:33 Gioiello Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von LOED
Zitat:
Wenn aber die letzte Zeile nicht 0 sondern irgendeine andere Zahl wäre, dann würde man eine eindeutige Lösung finden, oder?

? das verstehe ich nicht, liebe weibliche Zoey ?
Welche Zeile ist 0?


Wenn ich das, soweit wie möglich, mit dem Gauß gerechnet habe, dann ist die linke Seite der letzten Zeile 0

Zitat:
Original von LOED
Merke gut (!), alles in Matrizenschreibweise:
ist L der Lösungsraum des homogenen LGS Ax=0, und sei nun Ax=b irgendein LGS, dann gilt:
ist Ax=b unlösbar, dann unlösbar
ist Ax=b aber gelöst durch eine beliebige Lösung v, dann bekommst du den Lösungsraum davon durch v+L

Versuch mal, diese Schreibweise zu verstehen smile
wenns zu hoch ist, versuche ich's nochmal einfacher, ist etwas zu formal geraten, sry


Ja, ist bissi schwer, wenn du es gerne etwas einfacher formulieren willst und könntest, dann wäre das super, ich schau es mir dann morgen an. Danke.

Zitat:
Original von Ben Sisko
Zitat:
Original von LOED
Zitat:
Wenn aber die letzte Zeile nicht 0 sondern irgendeine andere Zahl wäre, dann würde man eine eindeutige Lösung finden, oder?

? das verstehe ich nicht, liebe weibliche Zoey ?
Welche Zeile ist 0?


Ich aber Big Laugh

Zoey, du meinst genau das Richtige und lass dich nicht verwirren Augenzwinkern

Vorzeichenfehler bei c), ja.


Ah, gut, dass du mich verstehst Tanzen


Ich kanns nicht gut erklären/beschreiben, nicht wahr? traurig

Gute Nacht! Wink
14.09.2006, 00:35 Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Zoey
Ah, gut, dass du mich verstehst Tanzen


Ich kanns nicht gut erklären/beschreiben, nicht wahr? traurig


Ach, der Lödchen stellt sich nur an... Augenzwinkern
14.09.2006, 00:37 JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, Lödchen ist (ihr wisst wieso) durcheinander, naja, wenn es denn nun klar dann werde ich das nicht mehr umformulieren.

Wollte natürlich niemanden verwirren. Wink
14.09.2006, 00:41 Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Zoey, vielleicht schaust du mal, ob du alle Lösungen eines mehrdeutig lösbaren LGS angeben kannst (erstmal ohne Parameter). Das ist imho von Jochens Erklärung noch übrig, den rest hast du verstanden, denk ich. Wink
14.09.2006, 00:44 Gioiello Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von LOED
Merke gut (!), alles in Matrizenschreibweise:
ist L der Lösungsraum des homogenen LGS Ax=0, und sei nun Ax=b irgendein LGS, dann gilt:
ist Ax=b unlösbar, dann unlösbar
ist Ax=b aber gelöst durch eine beliebige Lösung v, dann bekommst du den Lösungsraum davon durch v+L


Doch formuliere das mal um, bitte smile
Ich lese es mir dann morgen durch.

Okay Ben, mache ich auch morgen, ich gehe jetzt schlafen.

Danke euch allen Mit Zunge

Gn8
lg
14.09.2006, 01:15 JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Zoey
Zitat:
Original von LOED
Merke gut (!), alles in Matrizenschreibweise:
ist L der Lösungsraum des homogenen LGS Ax=0, und sei nun Ax=b irgendein LGS, dann gilt:
ist Ax=b unlösbar, dann unlösbar
ist Ax=b aber gelöst durch eine beliebige Lösung v, dann bekommst du den Lösungsraum davon durch v+L


Doch formuliere das mal um, bitte smile

Nun gut, vielleicht etwas anschaulicher.
A ist deine Matrix, x der gesuchte Vektor der Unbekannten, b dann der Ergebnis Vektor, ist dir das denn soweit noch "bekannt"?


Ansonsten ganz ohne Matrizen und Vektoren, hast du einfach dein LGS bestehend aus vielen linearen Gleichungen.
Man nennt ein LGS "homogen", wenn jede Gleichung konstantes Glied 0 hat (also wenn du alles mit x,y,... nach links schreibst steht rechts immer =0).
Das zu einem Gleichungssystem gehörende homogene LGS ist einfach, wenn man diese konstanten Glieder einfach =0 setzt.

[BSP 1
x+y=2
2x+y=3 ist ein LGS

das zugehörige homogene LGS ist dann einfach:
x+y=0
2x+y=0]

Nun begibt sich folgender Zusammenhang:
offensichtlich ist das homogene LGS niemals unlösbar (denn x=0, y=0,... ist auf jeden Fall eine Lösung).
Das homogene LGS hat einen nichtleeren Lösungsraums L, der kann natürlich auch ein- oder mehrparametrig ("mehrdimensional") sein.
L enthält also alle Lösungstupel ("Vektoren"), die das homogene LGS lösen.


Jetzt wollen wir uns eines fragen: wie hängt der Lösungsraum L vom homogenen LGS mit dem Lösungsraum T des "normalen" LGS zusammen?
Zwei Möglichkeiten:
- T ist leer, dann haben wir halt Pech gehabt (BSP 2)
- T ist nichtleer, es gibt einen beliebigen Lösungsvektor v (einen einzigen finden reicht); dann findet man alle Lösungen, indem man T=v+L setzt, das ist quasi der Lösungsraum von L "um v verschoben"; insbesondere ist die Anzahl der Parameter in L und V ("affine Dimension") also auch gleich; insbesondere gilt: war L nicht einpunktig, dann kann es auch T nicht sein (BSP3)


BSP 2:
Das LGS x+y=1 und x+y=2 ist offensichtlich unlösbar, trotzdem war aber L (also der Lösungsraum des homogenen LGS) nichtleer, sondern L={(t,-t) für t aus IR}

BSP 3:
x+y=2 ist ein ganz einfaches LGS
wir betrachten das homogene LGS dazu: x+y=0, den Lösungsraum haben wir oben schon gesehen, L={(-t,t)...}
Wir finden jetzt EINE EINZIGE Lösung, die das LGS oben erfüllt: x=1, y=1
Jetzt finden wir also den Lösugnsraum des AusgangsLGS, indem wie die "Basislösung" (1,1) auf den Lösungsraum "addieren":
es ergibt sich genau T={(1-t, 1+t)....}



der fettmarkierte Teil ist der, den du auf jeden Fall hier brauchst, um zu sehen, dass es gar nicht so unwahrscheinlich ist, dass es hier keine Lösung für x gibt, für die das eindeutig lösbar wird
das sagt nämlich schon das (c-lose) homogene LGS, dass es das nicht geben kann.
14.09.2006, 14:01 Gioiello Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von LOED
A ist deine Matrix, x der gesuchte Vektor der Unbekannten, b dann der Ergebnis Vektor, ist dir das denn soweit noch "bekannt"?


Yep, das kenn ich.


Danke für deine ausführliche Erklärung mit Beispielen Freude

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